Ответ:

  1. История — предыстория; интересная предыстория события.
  2. Июль — предыюльский; предыюльский период.
  3. Имя — безымянный; безымянный герой.
  4. Искать — разыскивать; разыскивать пропавшего человека.
  5. Интерес — безынтересный; безынтересный разговор.
  6. Инициатива — безынициативный; безынициативный сотрудник.

В словах предыстория, предыюльский, безымянный, разыскивать, безынтересный, безынициативный после приставок, оканчивающихся на согласную, пишется ы вместо начального и корня.