II. Решите тригонометрические уравнения: 1) √2 sin(x/6)=1; 2) 5 sin 9x=−5; 3) 2 sin(x/3)=0; 4) 3 sin x=2; 5) 2 sin 7x=−1.

Пусть n ∈ ℤ.

1. \(\sqrt{2}\sin\frac{x}{6}=1\).

   \(\sin\frac{x}{6}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

   Следовательно, \(\frac{x}{6}=\frac{\pi}{4}+2\pi n\) или \(\frac{x}{6}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\).

   Отсюда \(x=\frac{3\pi}{2}+12\pi n\) или \(x=\frac{9\pi}{2}+12\pi n\).

2. \(5\sin 9x=-5\).

   \(\sin 9x=-1\), поэтому \(9x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\).

   Отсюда \(x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}\).

3. \(2\sin\frac{x}{3}=0\).

   \(\sin\frac{x}{3}=0\), значит \(\frac{x}{3}=\pi n\).

   Отсюда \(x=3\pi n\).

4. \(3\sin x=2\).

   \(\sin x=\frac{2}{3}\).

   Отсюда \(x=\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\) или \(x=\pi-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\).

5. \(2\sin 7x=-1\).

   \(\sin 7x=-\frac{1}{2}\).

   Следовательно, \(7x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\) или \(7x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\).

   Отсюда \(x=-\frac{\pi}{42}+\frac{2\pi n}{7}\) или \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{7}\).

Ответ: 1) \(x=\frac{3\pi}{2}+12\pi n\) или \(x=\frac{9\pi}{2}+12\pi n\); 2) \(x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{9}\); 3) \(x=3\pi n\); 4) \(x=\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\) или \(x=\pi-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi n\); 5) \(x=-\frac{\pi}{42}+\frac{2\pi n}{7}\) или \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{7}\), где \(n\in\mathbb{Z}\).