ІІ С-30. Решение задач с помощью рациональных уравнений 1. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увели- чить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится 1 на. Найдите эту дробь. 4 2. Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Чему равна собствен- ная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч? 3. Две мастерские должны были пошить по 96 кур- ток. Первая мастерская шила в день на 4 куртки больше, чем вторая, и потому выполнила заказ на 2 дня раньше. Сколько курток шила в день каждая мастерская? 4. Слесарь может выполнить заказ за то же время, что и два ученика, работая вместе. За сколько часов может выполнить заказ слесарь и каждый из учеников, если слесарь может выполнить его на 2 ч быстрее, чем один первый ученик, и на 8 ч быстрее, чем один второй?

1. Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x + 4$$. Исходная дробь $$\frac{x}{x+4}$$. После изменений числитель стал $$x+2$$, знаменатель $$x+4+21 = x+25$$. Новая дробь $$\frac{x+2}{x+25}$$. По условию, новая дробь меньше исходной на $$\frac{1}{4}$$. Составим уравнение:

$$\frac{x}{x+4} - \frac{x+2}{x+25} = \frac{1}{4}$$

Умножим обе части уравнения на $$4(x+4)(x+25)$$:

$$4x(x+25) - 4(x+2)(x+4) = (x+4)(x+25)$$ $$4x^2 + 100x - 4(x^2 + 6x + 8) = x^2 + 29x + 100$$ $$4x^2 + 100x - 4x^2 - 24x - 32 = x^2 + 29x + 100$$ $$76x - 32 = x^2 + 29x + 100$$ $$x^2 - 47x + 132 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 2209 - 528 = 1681 = 41^2$$ $$x_1 = \frac{47 + 41}{2} = \frac{88}{2} = 44$$ $$x_2 = \frac{47 - 41}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Проверим корни:

Если $$x = 44$$, то дробь $$\frac{44}{48} = \frac{11}{12}$$. После изменений $$\frac{46}{69} = \frac{2}{3}$$. $$\frac{11}{12} - \frac{2}{3} = \frac{11 - 8}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$. Подходит.

Если $$x = 3$$, то дробь $$\frac{3}{7}$$. После изменений $$\frac{5}{28}$$. $$\frac{3}{7} - \frac{5}{28} = \frac{12 - 5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$$. Подходит.

Ответ: $$\frac{44}{48}$$ или $$\frac{3}{7}$$

2. Пусть собственная скорость катера равна $$v$$ км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $$(v + 2)$$ км/ч, а против течения $$(v - 2)$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{40}{v+2}$$ ч, а против течения $$\frac{6}{v-2}$$ ч. Общее время в пути 3 часа. Составим уравнение:

$$\frac{40}{v+2} + \frac{6}{v-2} = 3$$

Умножим обе части уравнения на $$(v+2)(v-2)$$:

$$40(v-2) + 6(v+2) = 3(v^2 - 4)$$ $$40v - 80 + 6v + 12 = 3v^2 - 12$$ $$46v - 68 = 3v^2 - 12$$ $$3v^2 - 46v + 56 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 2116 - 672 = 1444 = 38^2$$ $$v_1 = \frac{46 + 38}{6} = \frac{84}{6} = 14$$ $$v_2 = \frac{46 - 38}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

Так как скорость против течения должна быть положительной, то $$v - 2 > 0$$, следовательно, $$v > 2$$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: 14 км/ч или $$\frac{4}{3}$$ км/ч

3. Пусть вторая мастерская шила $$x$$ курток в день, тогда первая мастерская шила $$(x+4)$$ куртки в день. Время, затраченное второй мастерской, равно $$\frac{96}{x}$$ дней, а первой $$\frac{96}{x+4}$$ дней. По условию, первая мастерская выполнила заказ на 2 дня раньше. Составим уравнение:

$$\frac{96}{x} - \frac{96}{x+4} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$x(x+4)$$:

$$96(x+4) - 96x = 2x(x+4)$$ $$96x + 384 - 96x = 2x^2 + 8x$$ $$2x^2 + 8x - 384 = 0$$ $$x^2 + 4x - 192 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 = 28^2$$ $$x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$

Так как количество курток не может быть отрицательным, то $$x = 12$$. Тогда первая мастерская шила $$12 + 4 = 16$$ курток в день.

Ответ: 16 и 12

4. Пусть слесарь выполняет заказ за $$x$$ часов. Тогда первый ученик выполняет заказ за $$(x+2)$$ часа, а второй за $$(x+8)$$ часов. Производительность слесаря равна $$\frac{1}{x}$$, производительность первого ученика $$\frac{1}{x+2}$$, производительность второго ученика $$\frac{1}{x+8}$$. По условию, слесарь выполняет заказ за то же время, что и два ученика, работая вместе. Составим уравнение:

$$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x}$$

Умножим обе части уравнения на $$x(x+2)(x+8)$$:

$$x(x+8) + x(x+2) = (x+2)(x+8)$$ $$x^2 + 8x + x^2 + 2x = x^2 + 10x + 16$$ $$2x^2 + 10x = x^2 + 10x + 16$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

Так как время не может быть отрицательным, то $$x = 4$$. Тогда первый ученик выполняет заказ за $$4 + 2 = 6$$ часов, а второй за $$4 + 8 = 12$$ часов.

Ответ: 4, 6 и 12