II 1. Сравните: 1) log₁ 6 и log₁ 5; 1 3 2) log312 и 2; 3 3) log12 13 и log1312; 4) logo.20,3 и log0,30,2. 2. Найдите область определения функции: 1) y = log0,2(2x – 7); 2) y = logx - 1(5 – x); 1 3) y = lg (12 + x - x²) + lg (2-x) 3. Постройте график функции: 1) y = log3(x – 2); 2) y = log3(-x) + 1; 3) y = log₁ x. 1 3 4. Найдите наибольшее значение функции y = log0,5(x2 – 2x + 5).

1) log_1/3 6 и log_1/3 5

Основание логарифма 1/3 меньше 1, значит, функция убывает. Поэтому, чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма.

log_1/3 6 < log_1/3 5

2) log₃12 и 2

Представим 2 как логарифм по основанию 3: 2 = log₃9

Сравниваем log₃12 и log₃9. Так как основание 3 > 1, функция возрастает. Поэтому, чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.

log₃12 > log₃9 = 2

3) log₁₂ 13 и log₁₃12

Используем свойство смены основания логарифма: logₐb = 1 / log_ba

log₁₂ 13 = 1 / log₁₃12

Пусть x = log₁₂ 13, тогда log₁₃12 = 1/x. Сравниваем x и 1/x. Заметим, что x > 1 (так как 13 > 12 и основание > 1), тогда 1/x < 1.

log₁₂ 13 > log₁₃12

4) log₀.₂ 0.3 и log₀.₃ 0.2

log₀.₂ 0.3 > 0, так как 0 < 0.3 < 1 и основание 0 < 0.2 < 1

log₀.₃ 0.2 > 0, так как 0 < 0.2 < 1 и основание 0 < 0.3 < 1

Преобразуем к общему основанию: log₀.₂ 0.3 = ln(0.3) / ln(0.2) и log₀.₃ 0.2 = ln(0.2) / ln(0.3)

Сравним ln(0.3) / ln(0.2) и ln(0.2) / ln(0.3): ln(0.3) / ln(0.2) ? ln(0.2) / ln(0.3)

(ln(0.3))² ? (ln(0.2))²

|ln(0.3)| ? |ln(0.2)|

Так как 0 < 0.2 < 0.3 < 1, то ln(0.3) < ln(0.2) < 0

|ln(0.3)| < |ln(0.2)|

Следовательно, ln(0.3) / ln(0.2) < ln(0.2) / ln(0.3)

log₀.₂ 0.3 < log₀.₃ 0.2

1) y = log₀.₂(2x – 7)

Область определения логарифмической функции: аргумент должен быть больше 0.

2x - 7 > 0

2x > 7

x > 3.5

Ответ: (3.5; +∞)

2) y = log_x-1(5 – x)

Ограничения:

• 5 - x > 0
• x - 1 > 0
• x - 1 ≠ 1

Решаем систему неравенств:

• x < 5
• x > 1
• x ≠ 2

Ответ: (1; 2) ∪ (2; 5)

3) y = lg(12 + x - x²) + 1 / lg(2-x)

Ограничения:

• 12 + x - x² > 0
• 2 - x > 0
• lg(2-x) ≠ 0, то есть 2 - x ≠ 1

Решаем систему неравенств:

• x² - x - 12 < 0
• x < 2
• x ≠ 1

x² - x - 12 < 0

(x - 4)(x + 3) < 0

-3 < x < 4

Учитывая ограничения x < 2 и x ≠ 1, получаем:

Ответ: (-3; 1) ∪ (1; 2)

1) y = log₃(x – 2)

График функции y = log₃x сдвинут вправо на 2 единицы.

2) y = log₃(-x) + 1

График функции y = log₃x отражен относительно оси y и сдвинут вверх на 1 единицу.

3) y = |log_1/3 x|

Строим график функции y = log_1/3 x, а затем берем модуль, то есть отражаем часть графика, находящуюся ниже оси x, относительно оси x.