II. Упростить выражения: (3x⁴y)/(9x³y²); (2x²−6x)/(2x); (a+1)/(a²+2a+1); ((m−3n)/(m+n))·((m²−n²)/(3m−9n)); ((x²−16)/(x²+4x+4)):((x²−4x)/(x+2)). Также записано: y=4/x.

1. Сокращаем общие множители:

   \(\dfrac{3x^4y}{9x^3y^2}=\dfrac{x}{3y}\), при \(x\ne0\), \(y\ne0\).

2. Выносим общий множитель \(2x\) и сокращаем:

   \(\dfrac{2x^2-6x}{2x}=\dfrac{2x(x-3)}{2x}=x-3\), при \(x\ne0\).

3. Знаменатель — полный квадрат:

   \(\dfrac{a+1}{a^2+2a+1}=\dfrac{a+1}{(a+1)^2}=\dfrac{1}{a+1}\), при \(a\ne-1\).

4. Разложим разность квадратов и вынесем общий множитель в знаменателе:

   \(\dfrac{m-3n}{m+n}\cdot\dfrac{m^2-n^2}{3m-9n}=\dfrac{m-3n}{m+n}\cdot\dfrac{(m-n)(m+n)}{3(m-3n)}=\dfrac{m-n}{3}\).

   Ограничения исходного выражения: \(m+n\ne0\), \(m-3n\ne0\).

5. Заменяем деление умножением на обратную дробь и раскладываем многочлены на множители:

   \(\dfrac{x^2-16}{x^2+4x+4}:\dfrac{x^2-4x}{x+2}=\dfrac{(x-4)(x+4)}{(x+2)^2}\cdot\dfrac{x+2}{x(x-4)}=\dfrac{x+4}{x(x+2)}\).

   Ограничения исходного выражения: \(x\ne-2\), \(x\ne0\), \(x\ne4\).

Запись \(y=\dfrac{4}{x}\) задаёт условие при \(x\ne0\). Если оно относится к первому выражению, то после подстановки \(\dfrac{x}{3y}=\dfrac{x^2}{12}\).