Контрольные задания > II уровень сложности 1) Найти: ∠CAD (рис. 4.142). 2) Найти: AD (рис. 4.143). 3) Дано: АC = DC = 4 (рис. 4.144). Найти: АВ. 4) Найти: МД (рис. 4.145). 5) В треугольнике АВС угол В — тупой. Продолжения высот AA, BB, СС, пересекаются в точке O, LAOC = 60°. Найти: ∠ABC. 6) В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАC = 4AD. 7) В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Д И Е соответственно, LEAD = 5°, LECD = 10°. Найти: ∠EDC.
Вопрос:

II уровень сложности 1) Найти: ∠CAD (рис. 4.142). 2) Найти: AD (рис. 4.143). 3) Дано: АC = DC = 4 (рис. 4.144). Найти: АВ. 4) Найти: МД (рис. 4.145). 5) В треугольнике АВС угол В — тупой. Продолжения высот AA, BB, СС, пересекаются в точке O, LAOC = 60°. Найти: ∠ABC. 6) В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАC = 4AD. 7) В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Д И Е соответственно, LEAD = 5°, LECD = 10°. Найти: ∠EDC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: В данном задании представлено несколько задач по геометрии. Решим их по порядку, используя известные теоремы и свойства треугольников.

2) Найти: AD (рис. 4.143).

На рисунке 4.143 изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, в котором CD является высотой, опущенной на гипотенузу AB. Также даны длины отрезков BC = 10 и BD = 5. Нужно найти длину AD.

Пошаговое решение:

  1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как CD - высота, то треугольник BCD также прямоугольный.
  2. Применим теорему Пифагора к треугольнику BCD:
\[CD^2 + BD^2 = BC^2\]\[CD^2 + 5^2 = 10^2\]\[CD^2 = 100 - 25 = 75\]\[CD = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\]
  1. Теперь рассмотрим треугольник ACD. Он также прямоугольный, и нам нужно найти AD. Применим теорему Пифагора:
\[AD^2 + CD^2 = AC^2\]
  1. Чтобы найти AC, рассмотрим треугольник ABC. Применим теорему Пифагора:
\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]
  1. Выразим AB через AD и BD: AB = AD + BD = AD + 5
  2. Тогда:
\[AC^2 + 10^2 = (AD + 5)^2\]
  1. Выразим AC² из треугольника ACD: AC² = AD² + CD² = AD² + 75
  2. Подставим в уравнение:
\[AD^2 + 75 + 100 = (AD + 5)^2\]\[AD^2 + 175 = AD^2 + 10AD + 25\]\[10AD = 150\]\[AD = 15\]

Ответ: AD = 15

3) Дано: АC = DC = 4 (рис. 4.144). Найти: АВ.

На рисунке 4.144 изображен равнобедренный треугольник ADC (AC = DC), в котором угол ACD разделен высотой CF пополам, поэтому угол ACF = угол DCF = 30°. Нужно найти AB, где B - точка на продолжении AD за точку D, такая что CB перпендикулярна AD.

Пошаговое решение:

  1. В треугольнике DCF, который является прямоугольным, угол DCF = 30°. Значит, угол CDF = 90° - 30° = 60°.
  2. Так как треугольник ADC равнобедренный (AC = DC), то углы CAD и CDA равны. Угол ACD = 30° + 30° = 60°. Значит, углы CAD и CDA равны (180° - 60°) / 2 = 60°. Следовательно, треугольник ADC равносторонний, и AD = AC = DC = 4.
  3. В треугольнике ABC угол ACB = 90°, угол CAB = 60°, значит угол ABC = 30°.
  4. Используем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике с углом 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, AC (катет против угла ABC) равен половине AB (гипотенузы).
\[AC = \frac{1}{2} AB\]\[4 = \frac{1}{2} AB\]\[AB = 8\]

Ответ: AB = 8

4) Найти: МД (рис. 4.145).

На рисунке 4.145 дан прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C равен 90°. Также дана высота CD и угол MDA равен 30°. AC = 4. Нужно найти MD.

Пошаговое решение:

  1. В треугольнике ADC угол ACD равен 90°, и мы знаем сторону AC = 4. Нам нужно найти MD.
  2. Так как угол MDA = 30°, рассмотрим треугольник MDC. Угол MCD = 90° - 30° = 60°.
  3. Рассмотрим треугольник ADC. Угол DAC + угол ACD + угол CDA = 180°. Так как угол ACD = 90°, то угол DAC + угол CDA = 90°. Угол CDA = 90°, так как CD - высота.
  4. В треугольнике MDC угол CMD = 90°. Тогда sin(MCD) = MD / CD.
  5. Чтобы найти CD, рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем AC = 4.
  6. Так как угол MDA = 30°, то угол MDC = 90°. В треугольнике MDC угол MCD = 60°.
  7. Рассмотрим треугольник ADC. Угол DAC = 90° - угол C = 90° - угол B.
  8. В треугольнике MDC угол MCD = 60°, угол CMD = 90°. Тогда угол MDC = 30°.
  9. Используем тангенс угла 30° в треугольнике MDC: tan(30°) = MD / CD.
  10. Так как tan(30°) = 1 / √3, то MD / CD = 1 / √3.
\[MD = \frac{CD}{\sqrt{3}}\]
  1. В треугольнике ADC угол DAC = 30°. Тогда CD = AC * tan(30°) = 4 / √3.
  2. Подставим CD в формулу для MD:
\[MD = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\]

Ответ: MD = 4/3

5) В треугольнике АВС угол В — тупой. Продолжения высот AA, BB, СС, пересекаются в точке O, LAOC = 60°. Найти: ∠ABC.

Поскольку угол AOC = 60°, то угол между высотами, опущенными из вершин A и C, равен 60°. Угол ABC является тупым. Воспользуемся свойством, что угол между высотами треугольника равен углу, смежному с углом, из вершины которого опущены высоты.

Пошаговое решение:

  1. Угол AOC = 60°, следовательно, угол B = 180° - 60° = 120°.

Ответ: ∠ABC = 120°

7) В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Д И Е соответственно, LEAD = 5°, LECD = 10°. Найти: ∠EDC.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, угол B равен 40°. Значит, угол A равен 180° - 90° - 40° = 50°. На стороне AB отмечена точка D, а на стороне BC - точка E. Угол EAD = 5°, угол ECD = 10°. Нужно найти угол EDC.

Пошаговое решение:

  1. Угол EAC = угол A - угол EAD = 50° - 5° = 45°.
  2. В треугольнике AEC угол ACE = 90°. Сумма углов AEC и EAC равна 90°. Значит, угол AEC = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник AEC - равнобедренный, и AC = EC.
  3. В треугольнике EDC угол ECD = 10°, EC = AC. Следовательно, угол EDC = углу DEC.
  4. Сумма углов EDC, DEC и ECD равна 180°. 2 * угол EDC + 10° = 180°.
\[2 \cdot \angle EDC = 170^\circ\]\[\angle EDC = 85^\circ\]

Ответ: ∠EDC = 85°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю