ІІ уровень сложности 1) Найти: ∠CAD (рис. 4.142). 2) Найти: AD (рис. 4.143). 3) Дано: АС = DC = 4 (рис. 4.144). Найти: АВ. 4) Найти: MD (рис. 4.145). 5) В треугольнике ABC угол В — тупой. Продолжения высот АА, ВВ, СС, пересекаются в точке O, ∠AOC = 60°. Найти: ДАВС. 6) В треугольнике ABC ∠B = 90°, BD - высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD. 7) В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки D и Е соответственно, LEAD = 5°, LECD = 10°. Найти: ∠EDC.

Решение задачи 1

Для рисунка 4.142:

∠CAD = 90° - 25° = 65°

Решение задачи 2

Для рисунка 4.143:

AD = \(\sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)

Решение задачи 3

Для рисунка 4.144:

Так как AC = DC, то треугольник ADC равнобедренный. Угол ACD = 180° - 90° - 30° = 60°, значит, треугольник ADC равносторонний, и AD = AC = DC = 4.

По теореме Пифагора для треугольника ABD:

\(AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\)

Решение задачи 4

Для рисунка 4.145:

Так как треугольник BDM равнобедренный (MD = BD), то ∠MBD = ∠BMD = 30°. Значит, ∠M = 180° - 30° - 30° = 120°.

Решение задачи 5

∠AOC = 60°, следовательно, ∠ABC = 180° - 60° = 120° (так как четырехугольник ABOC вписанный).

Решение задачи 6

В треугольнике ABC ∠B = 90°, BD - высота, AB = 2BD.

Пусть BD = x, тогда AB = 2x. В прямоугольном треугольнике ABD:

\(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}\)

В прямоугольном треугольнике ABC:

\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\)

Из подобия треугольников ABC и ABD следует:

\(\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}\)

\(AC = \frac{AB^2}{AD} = \frac{(2x)^2}{x\sqrt{3}} = \frac{4x^2}{x\sqrt{3}} = \frac{4x}{\sqrt{3}}\)

Тогда \(3AC = \frac{12x}{\sqrt{3}} = 4x\sqrt{3}\)

\(4AD = 4x\sqrt{3}\)

Следовательно, 3AC = 4AD.

Решение задачи 7

В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°, ∠EAD = 5°, ∠ECD = 10°.

Найдем ∠EDC:

∠BAC = 90° - 40° = 50°.

∠DAC = ∠BAC - ∠EAD = 50° - 5° = 45°.

∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠ACD = 180° - 45° - (90° - 10°) = 180° - 45° - 80° = 55°.

∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 55° - 5° = 50°.