II вариант. 1. Диагонали прямоугольника MVKP пересекаются в точке O. ∠MON = 64°. Найдите угол OMP. [В условии, вероятно, опечатка: точка N не является вершиной прямоугольника; возможно, имеется в виду угол MOP.] 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из её углов на 30° больше другого. 3. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции. 5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

В обозначении ∠MON точка N не относится к указанным вершинам прямоугольника MVKP, поэтому условие неоднозначно.

Если подразумевается ∠MOP = 64°, то диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OM = OP. Треугольник MOP равнобедренный, и его углы при основании равны (180° − 64°) : 2 = 58°. Следовательно, ∠OMP = 58°.

Если подразумевается именно ∠MON и N — отдельная точка, данных недостаточно: необходимо уточнить, где расположена точка N.

У равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне в сумме равны 180°. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший равен (x + 30)°. Получаем x + (x + 30) = 180, откуда x = 75. Больший угол равен 105°.

Ответ: 75°, 75°, 105°, 105°.

Пусть стороны равны 3x и x. Тогда 2(3x + x) = 40, откуда 8x = 40 и x = 5.

Ответ: 15 см и 5 см.

В прямоугольной трапеции два угла прямые. Углы при другой боковой стороне в сумме составляют 180°, а их разность равна 48°.

Пусть эти углы равны x° и y°. Тогда x + y = 180, x − y = 48. Складывая уравнения, получаем 2x = 228, поэтому x = 114 и y = 66.

Ответ: 90°, 90°, 66°, 114°.

В ромбе диагональ AC биссектрисса угла A и перпендикулярна диагонали BD. Пусть их пересечение — O. Тогда AO = AC : 2 = 3 см. В прямоугольном треугольнике AOM угол MAO равен 30°, поскольку BM перпендикулярна AD, а угол между BM и AB равен 30°.

Следовательно, AM = AO : cos 30° = 3 : (√3/2) = 2√3 см.

Ответ: AM = 2√3 см.