II вариант. 1. В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.

Обозначим меньшее основание через \(b\), тогда большее равно \(2b\). В равнобедренной трапеции середина большего основания лежит на перпендикуляре, проходящем через середину меньшего основания. Горизонтальное расстояние от этой середины до вершины тупого угла равно половине меньшего основания, то есть \(b/2\).

Пусть \(h\) — высота трапеции. По условию расстояние от середины большего основания до вершины тупого угла равно \(b\). По теореме Пифагора:

\[h^2+\left(\frac b2\right)^2=b^2,\qquad h=\frac{\sqrt3}{2}b.\]

Горизонтальная проекция боковой стороны равна половине разности оснований: \((2b-b)/2=b/2\). Поэтому для острого угла \(\alpha\):

\[\tan\alpha=\frac{h}{b/2}=\sqrt3,\qquad \alpha=60^\circ.\]

Соседние углы при боковой стороне трапеции supplementary, поэтому тупой угол равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ\).