II вариант. 2. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение оснований.

Обозначим большее основание через \(B\), меньшее — через \(b\), а высоту — через \(h\). Острый угол расположен у наклонной боковой стороны. Из условия, что он равен \(45^\circ\), получаем:

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{B-b}=1,\qquad h=B-b.\]

Расположим трапецию так, чтобы основания были горизонтальны, а вертикальная боковая сторона находилась слева. Возьмём диагональ от левого конца большего основания к правому концу меньшего основания. Её направляющий вектор можно записать как \((b,h)\), а вектор наклонной боковой стороны — как \((b-B,h)\). Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\[b(b-B)+h^2=0.\]

Подставим \(h=B-b\):

\[b(b-B)+(B-b)^2=0,\qquad (B-b)(B-2b)=0.\]

Так как основания различны, \(B-b\ne0\), следовательно, \(B=2b\).

Ответ: отношение большего основания к меньшему равно \(2:1\).