ІІ вариант 1. МП и МК - отрезки касательных, проведенных к окружности адиуса 5 см. Найдите MN и МК, если МО = 13 см. 2. Рис. 721. Дано: АB: AC = 5 : 3. Найти: ∠ВОС, ∠ABC. 3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке F так, CD A B 60°

Задание 1

Краткое пояснение: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Получается прямоугольный треугольник, в котором можно найти катет по теореме Пифагора.

1. MN и MK - отрезки касательных, проведенных из точки M к окружности с центром O.
2. OM - отрезок, соединяющий точку M с центром окружности O.
3. ON и OK - радиусы окружности, проведенные в точки касания N и K соответственно.
4. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы ONA и OKA - прямые, то есть равны 90 градусов.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMN. В этом треугольнике OM - гипотенуза, ON - катет (радиус окружности), MN - катет (отрезок касательной).
6. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OM² = ON² + MN².
7. Выразим MN² из этого уравнения: MN² = OM² - ON².
8. Подставим известные значения: ON = 5 см (радиус), OM = 13 см.
9. MN² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.
10. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: MN = √144 = 12 см.
11. Так как MN и MK - отрезки касательных, проведенных из одной точки, то MN = MK. Следовательно, MK = 12 см.

Ответ: MN = 12 см, MK = 12 см.

Проверка за 10 секунд: Применили теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом, касательной и отрезком, соединяющим точку касания с центром окружности.

Доп. профит: Теорема Пифагора - один из самых важных инструментов геометрии, который позволяет находить неизвестные стороны прямоугольных треугольников.

Задание 2

Краткое пояснение: Используем свойство вписанного угла и центрального угла, опирающихся на одну и ту же дугу, а также теорему о сумме углов треугольника.

1. По условию, дуга AB относится к дуге AC как 5:3. Пусть дуга AB = 5x, а дуга AC = 3x.
2. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Следовательно, ∠BOC = 5x, ∠AOC = 3x.
3. Сумма углов, образованных дугами AB и AC, составляет 360 градусов (полная окружность). Тогда дуга BC = 360 - 5x - 3x = 360 - 8x. ∠BOC = 360 - 8x
4. Центральный угол ∠BOC = 5x, ∠AOC = 3x, ∠BOC = 360 - (5x + 3x)
5. 5x + 3x + ∠BOC = 360°. Также ∠BOC = 360 - 8x. Подставляем: 5x + 3x + ∠AOB = 360°.
6. Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу AC. Значит, ∠ABC = 3x/2.
7. По условию ∠A = 60°. В треугольнике ABC, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
8. ∠BOC - центральный угол, опирающийся на дугу BC, а ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. ∠BAC = 60°.
9. Следовательно, ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 60° = 120°.
10. ∠AOC = 3x, ∠BOC = 120 = 5x. Тогда 8x + 120 = 360. 8x = 240, x = 30.
11. ∠AOC = 3 * 30 = 90°, ∠BOC = 5 * 30 = 150°, ∠ABC = 90/2 = 45°.

    Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 45°

Проверка за 10 секунд: Убедились, что центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу, и что углы соответствуют заданному соотношению дуг.

Доп. профит: Знание свойств вписанных и центральных углов позволяет быстро решать задачи на нахождение углов в окружности.