II вариант 1) Найдите промежутки монотон- ности функции у=х4-4х+4. 2) Найдите наименьшее и наи- 1 большее значения функции у=-x3+ 3 +х²-3х-4 на отрезке -4≤x≤2. 3) Найдите промежутки выпук- лости и точки перегиба кривых: 1 a) y=x3-12x²+145; 6) y=-x³+ +x²+ 1 3 4) Дан закон прямолинейного 1 движения точки s=--t t3+3t2+5t+3 3 (t - в секундах, s-в метрах). Най- дите максимальную скорость дви- жения этой точки.

1) Найдите промежутки монотонности функции $$y=x^4-4x+4$$.

Для нахождения промежутков монотонности функции, необходимо найти ее первую производную и определить знаки производной.

1. Находим первую производную функции:

$$y' = 4x^3 - 4$$

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

$$4x^3 - 4 = 0$$

$$4(x^3 - 1) = 0$$

$$x^3 = 1$$

$$x = 1$$

3. Определяем знаки производной на промежутках, образованных критической точкой:

• Промежуток $$(-\infty, 1)$$. Возьмем $$x = 0$$. Тогда $$y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 < 0$$. Функция убывает.
• Промежуток $$(1, +\infty)$$. Возьмем $$x = 2$$. Тогда $$y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 4(8) - 4 = 32 - 4 = 28 > 0$$. Функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на промежутке $$(-\infty, 1)$$ и возрастает на промежутке $$(1, +\infty)$$.

Ответ: Функция убывает на $$(-\infty, 1)$$, функция возрастает на $$(1, +\infty)$$.

2) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x-4$$ на отрезке $$-4 \le x \le 2$$.

1. Находим первую производную функции:

$$y' = x^2 + 2x - 3$$

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

3. Обе критические точки $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -3$$ принадлежат отрезку $$[-4, 2]$$.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

$$y(-4) = \frac{1}{3}(-4)^3 + (-4)^2 - 3(-4) - 4 = \frac{-64}{3} + 16 + 12 - 4 = \frac{-64}{3} + 24 = \frac{-64 + 72}{3} = \frac{8}{3}$$ $$y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) - 4 = \frac{-27}{3} + 9 + 9 - 4 = -9 + 9 + 9 - 4 = 5$$ $$y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) - 4 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 4 = \frac{1}{3} - 6 = \frac{1 - 18}{3} = \frac{-17}{3}$$ $$y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) - 4 = \frac{8}{3} + 4 - 6 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = \frac{-10}{3}$$

5. Сравниваем значения функции:

$$y(-4) = \frac{8}{3} \approx 2.67$$ $$y(-3) = 5$$ $$y(1) = \frac{-17}{3} \approx -5.67$$ $$y(2) = \frac{-10}{3} \approx -3.33$$

Наименьшее значение: $$\frac{-17}{3}$$, наибольшее значение: $$5$$.

Ответ: Наименьшее значение: $$-\frac{17}{3}$$, наибольшее значение: $$5$$.

3) Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

a) $$y=x^3-12x^2+145$$

1. Находим первую производную:

$$y' = 3x^2 - 24x$$

2. Находим вторую производную:

$$y'' = 6x - 24$$

3. Приравниваем вторую производную к нулю и находим точки перегиба:

$$6x - 24 = 0$$ $$6x = 24$$ $$x = 4$$

4. Определяем знаки второй производной на промежутках, образованных точкой перегиба:

• Промежуток $$(-\infty, 4)$$. Возьмем $$x = 0$$. Тогда $$y''(0) = 6(0) - 24 = -24 < 0$$. Функция выпукла вверх.
• Промежуток $$(4, +\infty)$$. Возьмем $$x = 5$$. Тогда $$y''(5) = 6(5) - 24 = 30 - 24 = 6 > 0$$. Функция выпукла вниз.

Таким образом, функция выпукла вверх на промежутке $$(-\infty, 4)$$, выпукла вниз на промежутке $$(4, +\infty)$$. Точка перегиба $$x = 4$$.

б) $$y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+\frac{1}{3}$$

1. Находим первую производную:

$$y' = -x^2 + 2x$$

2. Находим вторую производную:

$$y'' = -2x + 2$$

3. Приравниваем вторую производную к нулю и находим точки перегиба:

$$-2x + 2 = 0$$ $$-2x = -2$$ $$x = 1$$

4. Определяем знаки второй производной на промежутках, образованных точкой перегиба:

• Промежуток $$(-\infty, 1)$$. Возьмем $$x = 0$$. Тогда $$y''(0) = -2(0) + 2 = 2 > 0$$. Функция выпукла вниз.
• Промежуток $$(1, +\infty)$$. Возьмем $$x = 2$$. Тогда $$y''(2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$$. Функция выпукла вверх.

Таким образом, функция выпукла вниз на промежутке $$(-\infty, 1)$$, выпукла вверх на промежутке $$(1, +\infty)$$. Точка перегиба $$x = 1$$.

Ответ: a) Выпукла вверх на $$(-\infty, 4)$$, выпукла вниз на $$(4, +\infty)$$. Точка перегиба $$x = 4$$. б) Выпукла вниз на $$(-\infty, 1)$$, выпукла вверх на $$(1, +\infty)$$. Точка перегиба $$x = 1$$.

4) Дан закон прямолинейного движения точки $$s = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 5t + 3$$. Найти максимальную скорость движения этой точки.

1. Находим скорость как первую производную от перемещения по времени:

$$v(t) = s'(t) = -t^2 + 6t + 5$$

2. Чтобы найти максимальную скорость, найдем производную от скорости (ускорение) и приравняем её к нулю:

$$a(t) = v'(t) = -2t + 6$$

3. Приравниваем ускорение к нулю и находим время, когда скорость максимальна:

$$-2t + 6 = 0$$ $$-2t = -6$$ $$t = 3$$

4. Вычисляем максимальную скорость, подставляя найденное время в уравнение скорости:

$$v(3) = -(3)^2 + 6(3) + 5 = -9 + 18 + 5 = 9 + 5 = 14$$

Ответ: Максимальная скорость движения точки равна $$14 \text{ м/с}$$.