Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
1. Решите квадратное уравнение:
a) $$x^2 - 4 = 0$$
$$x^2 = 4$$
$$x = \pm \sqrt{4}$$
$$x_1 = 2, x_2 = -2$$
Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -2$$
б) $$x^2 + 3x = 0$$
$$x(x + 3) = 0$$
$$x_1 = 0, x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$$
Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = -3$$
в) $$x^2 + 11 = 0$$
$$x^2 = -11$$
Нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: Нет действительных решений.
г) $$x^2 + 4x - 5 = 0$$
Используем теорему Виета: $$x_1 + x_2 = -4, x_1 \cdot x_2 = -5$$
Решения: $$x_1 = 1, x_2 = -5$$
Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -5$$
д) $$2x^2 - 5x - 7 = 0$$
Вычислим дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$
Тогда корни:
$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$
$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$
Ответ: $$x_1 = \frac{7}{2}, x_2 = -1$$
2. Числа $$x_1$$ и $$x_2$$ являются корнями уравнения $$x^2 - 5x + 2 = 0$$. Найдите значение выражения:
По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 5, x_1 \cdot x_2 = 2$$
а) $$x_1 + x_2 = 5$$
Ответ: 5
б) $$x_1x_2 = 2$$
Ответ: 2
в) $$x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = (5)^2 + 2(2) = 25 + 4 = 29$$
Ответ: 29
3. Решите уравнение:
а) $$(x - 4)^2 + (x - 6)^2 = 2$$
$$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 12x + 36 = 2$$
$$2x^2 - 20x + 52 = 0$$
$$x^2 - 10x + 26 = 1$$
$$x^2 - 10x + 25 = 0$$
$$(x - 5)^2 = 0$$
$$x = 5$$
Ответ: $$x = 5$$
б) $$\frac{3x^2 - 2x}{4} - \frac{2x^2 - 2}{3} = 0$$
Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:
$$3(3x^2 - 2x) - 4(2x^2 - 2) = 0$$
$$9x^2 - 6x - 8x^2 + 8 = 0$$
$$x^2 - 6x + 8 = 0$$
$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 36 - 32 = 4$$
$$x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
$$x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = 2$$
