ІІ вариант 1. Рис. 476. Доказать: ДАВС ~ ДА,В,С. 2. АВ и CD пересекаются в точке О, АО = 12 см, ВО = 4 см, CO = 30 см, DO = 10 см. Найдите угол САО, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольников АОС и BOD. 2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересе- кает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найди- те АС и отношение площадей треугольников АВС и ВМП, если МВ = 14 см, АВ = 16 см, МН = 28 см.

Рассмотрим задачу 2.2:

Дано: Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и Н; МВ = 14 см, АВ = 16 см, МН = 28 см.

Найти: АС и отношение площадей треугольников АВС и ВМН.

Решение:

1. Найдем отношение сторон АВ и МВ:

$$ \frac{MB}{AB} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} $$.

2. Так как МН параллельна АС, то треугольники ВМН и ВАС подобны по двум углам (угол В общий, углы ВМН и ВАС соответственные при параллельных прямых МН и АС и секущей АВ). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{MB}{AB} = \frac{MH}{AC} = \frac{7}{8}$$.

3. Найдем сторону АС:

$$\frac{28}{AC} = \frac{7}{8}$$ $$AC = \frac{28 \cdot 8}{7} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}$$.

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k = 7/8. Тогда отношение площадей:

$$\frac{S_{ВМН}}{S_{АВС}} = \left(\frac{MB}{AB}\right)^2 = \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}$$.

5. Найдем отношение площадей треугольников ABC и ВМН:

$$\frac{S_{АВС}}{S_{ВМН}} = \frac{64}{49}$$.

Ответ: АС = 32 см; $$\frac{S_{АВС}}{S_{ВМН}} = \frac{64}{49}$$