ІІ вариант 1. Стороны треугольника равны 5,5 см, 8 см, 12,5 см. Вычислите периметр треугольника. 2. Каждый из отрезков АВ и CD на рисунке точкой О делится пополам. Докажите, треугольники САО и DBO равны. 3. Внешние углы в двух вершинах треугольника равны 120° и 150°. Найдите третий внешний угол треугольника. 4. Луч AD - биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что АВ = AC. 5. На сторонах угла А отмечены точки М и К так, что АМ = АК. Известно, что точка Р лежит внутри угла А и РК-РМ. Докажите, что луч АР биссектриса угла

1. Стороны треугольника равны 5,5 см, 8 см, 12,5 см. Вычислите периметр треугольника.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

$$P = a + b + c$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника.

В данном случае:

$$a = 5.5 \text{ см}$$, $$b = 8 \text{ см}$$, $$c = 12.5 \text{ см}$$

Вычислим периметр:

$$P = 5.5 + 8 + 12.5 = 26 \text{ см}$$.

Ответ: 26 см

---

2. Каждый из отрезков АВ и CD на рисунке точкой О делится пополам. Докажите, треугольники САО и DBO равны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle CAO$$ и $$\triangle DBO$$:

1. $$AO = BO$$ (так как точка O делит отрезок AB пополам).
2. $$CO = DO$$ (так как точка O делит отрезок CD пополам).
3. $$\angle AOC = \angle BOD$$ (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, треугольники $$\triangle CAO$$ и $$\triangle DBO$$ равны.

Ответ: Треугольники САО и DBO равны.

---

3. Внешние углы в двух вершинах треугольника равны 120° и 150°. Найдите третий внешний угол треугольника.

Сумма внешних углов треугольника равна 360°.

Пусть внешние углы треугольника равны $$\alpha, \beta, \gamma$$. Тогда:

$$\alpha + \beta + \gamma = 360^\circ$$

В данном случае: $$\alpha = 120^\circ$$ и $$\beta = 150^\circ$$.

Найдем третий внешний угол $$\gamma$$:

$$120^\circ + 150^\circ + \gamma = 360^\circ$$

$$270^\circ + \gamma = 360^\circ$$

$$\gamma = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$$

Ответ: 90°

---

4. Луч AD - биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что АВ = AC.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADB$$ и $$\triangle ADC$$:

1. AD - общая сторона.
2. $$\angle BAD = \angle CAD$$, так как AD - биссектриса угла A.
3. $$\angle ADB = \angle ADC$$ (по условию).

Следовательно, $$\triangle ADB = \triangle ADC$$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $$AB = AC$$.

Ответ: AB = AC

---

5. На сторонах угла А отмечены точки М и К так, что АМ = АК. Известно, что точка Р лежит внутри угла А и РК-РМ. Докажите, что луч АР - биссектриса угла

Условие задачи содержит опечатку: $$PK = PM$$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $$\triangle AMP$$ и $$\triangle AKP$$.

1. $$AM = AK$$ (по условию)
2. $$PK = PM$$ (по условию)
3. $$AP$$ - общая сторона

Значит, треугольники $$\triangle AMP$$ и $$\triangle AKP$$ равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство углов: $$\angle MAP = \angle KAP$$.

Следовательно, луч АР - биссектриса угла

Ответ: Луч AP - биссектриса угла.