II вариант. Упростите: 1) sin 7x · cos 4x − cos 7x · sin 4x; 2) sin 20° − sin 40°; 3) sin 23° · sin 32°; 4) sin 5x + 2 sin 6x + sin 7x; 5) (sin t − cos t)²; 6) (1 + tg 54° · tg 9°)/(tg 54° − tg 9°); 7) sin(α + β) − sin α · cos β; 8) tg(π + t) · cos(3π/2 + t); 9) cos(α + π/4) · cos(α − π/4); 10) sin(90° − α) + cos(180° + α); 11) sin(π/5) · cos(π/20) + cos(π/5) · sin(π/20); 12) cos 2t/(cos t − sin t) − sin t; 13) cos 75° − cos 15°; 14) sin 2t/cos t − sin t.

1) По формуле синуса разности: sin 7x · cos 4x − cos 7x · sin 4x = sin 3x.

2) sin 20° − sin 40° = 2 cos 30° · sin(−10°) = −√3 sin 10°.

3) По формуле произведения синусов: sin 23° · sin 32° = ½[cos 9° − cos 55°] = ½(cos 9° − cos 55°).

4) sin 5x + sin 7x = 2 sin 6x · cos x. Тогда выражение равно 2 sin 6x(cos x + 1) = 4 sin 6x · cos²(x/2).

5) (sin t − cos t)² = sin²t + cos²t − 2 sin t · cos t = 1 − sin 2t. Ответ: 1 − sin 2t.

6) По формуле котангенса разности выражение равно ctg(54° − 9°) = ctg 45° = 1.

7) sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β. После вычитания sin α · cos β остаётся cos α · sin β.

8) tg(π + t) = tg t, а cos(3π/2 + t) = sin t. Поэтому tg t · sin t = sin²t/cos t.

9) По формуле произведения косинусов: cos(α + π/4) · cos(α − π/4) = ½[cos 2α + cos(π/2)] = ½ cos 2α.

10) sin(90° − α) = cos α, а cos(180° + α) = −cos α. Сумма равна 0.

11) По формуле синуса суммы выражение равно sin(π/5 + π/20) = sin(π/4) = √2/2.

12) cos 2t = (cos t − sin t)(cos t + sin t). После сокращения дроби получаем cos t + sin t; вычитая sin t, получаем cos t.

13) По формуле разности косинусов: cos 75° − cos 15° = −2 sin 45° · sin 30° = −√2/2.

14) sin 2t/cos t = 2 sin t. Тогда 2 sin t − sin t = sin t.