ІІ вариант 1. В равнобедренном треугольнике АВС высота АН в 4 раза меньше основания ВС, равного 16 см. Найдите площадь ДАВС 2. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см². Найдите стороны параллелограмма. 3. В равнобокой трапеции АВСМ большее основание АМ равно 20 см, высота ВН отсекает от АМ отрезок АН, равный 6 см. Угол ВАМ равен 45°. Найдите площадь трапеции. 4. Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 150°. Найдите площадь параллелограмма. 5. Диагонали ромба относятся как 3: 5, а их сумма равна 8 см. Найдите площадь ромба.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC высота AH в 4 раза меньше основания BC, равного 16 см. Найдите площадь ΔABC.

   BC = 16 см.

   AH = BC ∶ 4 = 16 ∶ 4 = 4 см.

   Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

   $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 = 32 \text{ см}^2.$$

   Ответ: 32 см²

2. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см². Найдите стороны параллелограмма.

   Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

   $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$

   Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, $$h_a = 10 \text{ см}$$, $$h_b = 5 \text{ см}$$.

   $$a = \frac{S}{h_a} = \frac{60}{10} = 6 \text{ см}$$.

   $$b = \frac{S}{h_b} = \frac{60}{5} = 12 \text{ см}$$.

   Ответ: 6 см, 12 см.

3. В равнобокой трапеции АВСМ большее основание АМ равно 20 см, высота ВН отсекает от АМ отрезок АН, равный 6 см. Угол ВАМ равен 45°. Найдите площадь трапеции.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.

   Т.к. угол ВАМ равен 45°, то угол ABH тоже равен 45° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°), значит, треугольник ABH равнобедренный.

   BH = AH = 6 см.

   Т.к. трапеция равнобокая, то отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований.

   $$AH = \frac{AM - BC}{2}$$.

   $$6 = \frac{20 - BC}{2}$$.

   $$20 - BC = 12$$.

   $$BC = 20 - 12 = 8 \text{ см}$$.

   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

   $$S_{ABCM} = \frac{AM + BC}{2} \cdot BH = \frac{20 + 8}{2} \cdot 6 = 14 \cdot 6 = 84 \text{ см}^2.$$

   Ответ: 84 см².

4. Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

   Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.

   $$S = a \cdot b \cdot \sin{\alpha}$$.

   $$S = 4 \cdot 7 \cdot \sin{150^\circ} = 4 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 14 \text{ см}^2.$$

   Ответ: 14 см².

5. Диагонали ромба относятся как 3: 5, а их сумма равна 8 см. Найдите площадь ромба.

   Пусть диагонали ромба равны $$3x$$ и $$5x$$.

   $$3x + 5x = 8$$.

   $$8x = 8$$.

   $$x = 1$$.

   Диагонали ромба равны 3 см и 5 см.

   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

   $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5 \text{ см}^2.$$

   Ответ: 7,5 см².