II Варіант 1) (2 б) Знайдіть похідну функції f(x) = x⁷ - 1/3 x⁶ + 4x³ + 5x + 8 2) (2 б) Задано функцію f(x) = x⁵ - 6x³ + 10. Визначте кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції в у точці з абсцисою x₀ = 1. 3) (2 б) Знайдіть похідну функції: f(x) = √x(4x-2) 4) (3 б) Якими мають бути сторони прямокутника з периметром 80 м, щоб його площа була найбільшою? А) Задайте формулою функцію для якої необхідно буде знайти точку максимуму. Б) Знайдіть довжини сторін прямокутника, що задовольняють умову завдання. 5) (3 б) Дослідіть функцію f(x) = 2x³ - 6x - 2 на парність, проміжки монотонності, знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції. Побудуйте графік цієї функції.

II Варіант

1) Знаходження похідної функції:

Дано функцію: \( f(x) = x^7 - \frac{1}{3}x^6 + 4x^3 + 5x + 8 \)

Знайдемо похідну \( f'(x) \) за правилами диференціювання:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^7 - \frac{1}{3}x^6 + 4x^3 + 5x + 8 \right) \]

\[ f'(x) = 7x^{7-1} - \frac{1}{3} \cdot 6x^{6-1} + 4 \cdot 3x^{3-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0 \]

\[ f'(x) = 7x^6 - 2x^5 + 12x^2 + 5 \]

Відповідь: \( f'(x) = 7x^6 - 2x^5 + 12x^2 + 5 \)

2) Знаходження кутового коефіцієнта дотичної:

Дано функцію: \( f(x) = x^5 - 6x^3 + 10 \)

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці \( x_0 \) дорівнює значенню похідної цієї функції в цій точці, тобто \( k = f'(x_0) \).

Знайдемо похідну функції:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( x^5 - 6x^3 + 10 \right) \]

\[ f'(x) = 5x^4 - 6 \cdot 3x^2 + 0 \]

\[ f'(x) = 5x^4 - 18x^2 \]

Тепер знайдемо значення похідної в точці \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = 5(1)^4 - 18(1)^2 = 5 \cdot 1 - 18 \cdot 1 = 5 - 18 = -13 \]

Відповідь: Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює -13.

3) Знаходження похідної функції:

Дано функцію: \( f(x) = \sqrt{x}(4x-2) \)

Спочатку розкриємо дужки, щоб спростити вираз:

\( f(x) = x^{1/2}(4x - 2) = 4x^{1/2} \cdot x^1 - 2x^{1/2} = 4x^{3/2} - 2x^{1/2} \)

Тепер знайдемо похідну:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( 4x^{3/2} - 2x^{1/2} \right) \]

\[ f'(x) = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} \]

\[ f'(x) = 6x^{1/2} - 1x^{-1/2} \]

\[ f'(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Можна також привести до спільного знаменника:

\[ f'(x) = \frac{6x - 1}{\sqrt{x}} \]

Відповідь: \( f'(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \) або \( f'(x) = \frac{6x - 1}{\sqrt{x}} \)

4) Побудова функції площі прямокутника та знаходження максимуму:

Нехай сторони прямокутника дорівнюють \( x \) і \( y \). Периметр \( P = 2(x + y) = 80 \text{ м} \). Звідси \( x + y = 40 \text{ м} \), тому \( y = 40 - x \).

Площа \( A = xy = x(40 - x) = 40x - x^2 \). Нам потрібно знайти максимум функції \( A(x) = 40x - x^2 \).

А) Функція для знаходження максимуму:

Функція площі: \( A(x) = 40x - x^2 \).

Б) Знаходження довжин сторін:

Знайдемо похідну функції \( A(x) \):

\[ A'(x) = \frac{d}{dx}(40x - x^2) = 40 - 2x \]

Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти критичні точки:

\[ 40 - 2x = 0 \]

\[ 2x = 40 \]

\[ x = 20 \) м.

Знайдемо відповідне значення \( y \):

\( y = 40 - x = 40 - 20 = 20 \) м.

Отже, щоб площа була найбільшою, прямокутник повинен бути квадратом зі стороною 20 м.

Відповідь:

А) \( A(x) = 40x - x^2 \)

Б) Сторони прямокутника дорівнюють 20 м і 20 м.

5) Дослідження функції \( f(x) = 2x³ - 6x - 2 \) та побудова графіка:

1. Парність:

\( f(-x) = 2(-x)^3 - 6(-x) - 2 = -2x^3 + 6x - 2 \). Оскільки \( f(-x) \) не дорівнює \( f(x) \) і \( -f(x) \), функція не є ні парною, ні непарною.

2. Проміжки монотонності та точки екстремуму:

Знайдемо похідну:

\[ f'(x) = 6x^2 - 6 \]

Прирівняємо похідну до нуля:

\[ 6x^2 - 6 = 0 \]

\[ 6(x^2 - 1) = 0 \]

\[ x^2 = 1 \]

Критичні точки: \( x = -1 \) і \( x = 1 \).

Визначимо знаки похідної на інтервалах:

• На \( (-\infty, -1) \): \( f'(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 6(4) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \) (функція зростає).


• На \( (-1, 1) \): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 < 0 \) (функція спадає).


• На \( (1, \infty) \): \( f'(2) = 6(2)^2 - 6 = 6(4) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \) (функція зростає).

3. Точки екстремуму та екстремуми:

• В точці \( x = -1 \) функція змінює зростання на спадання, отже, це точка локального максимуму.


• Значення максимуму: \( f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) - 2 = -2 + 6 - 2 = 2 \). Точка максимуму: \( (-1, 2) \).


• В точці \( x = 1 \) функція змінює спадання на зростання, отже, це точка локального мінімуму.


• Значення мінімуму: \( f(1) = 2(1)^3 - 6(1) - 2 = 2 - 6 - 2 = -6 \). Точка мінімуму: \( (1, -6) \).

4. Побудова графіка:

Графік функції — кубічна парабола. Точки перетину з осями:

• З віссю Oy: \( x=0 \), \( y=-2 \). Точка \( (0, -2) \).


• З віссю Ox: \( 2x^3 - 6x - 2 = 0 \) або \( x^3 - 3x - 1 = 0 \). Це рівняння важко розв'язати аналітично.

Побудуємо графік, враховуючи точки екстремуму та напрямок зростання/спадання.

Відповідь:

Парність: не є ні парною, ні непарною.

Проміжки монотонності: зростає на \( (-\infty, -1) \) та \( (1, \infty) \), спадає на \( (-1, 1) \).

Точки екстремуму: \( (-1, 2) \) — максимум, \( (1, -6) \) — мінімум.

Графік: кубічна парабола, що проходить через точки \( (-1, 2) \) (максимум) та \( (1, -6) \) (мінімум).