II Вариант Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ условия.

   Даны два прямоугольных треугольника, обозначим их как \( riangle ABC \) и \( riangle A'B'C' \), где \( igangle C = igangle C' = 90^ ext{o} \). Условие гласит, что у этих треугольников равны катеты и противолежащие им углы. Пусть \( AC = A'C' \) (равные катеты) и \( igangle B = igangle B' \) (противолежащие углы к катетам \( AC \) и \( A'C' \) соответственно).

2. Шаг 2: Нахождение равных углов.

   В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, \( igangle A = 90^ ext{o} - igangle B \) и \( igangle A' = 90^ ext{o} - igangle B' \). Поскольку \( igangle B = igangle B' \), то и \( igangle A = igangle A' \).

3. Шаг 3: Применение признака равенства треугольников.

   Теперь у нас есть следующие равенства:

   • \( AC = A'C' \) (по условию)
   • \( igangle A = igangle A' \) (доказано в Шаге 2)
   • \( igangle C = igangle C' = 90^ ext{o} \) (по определению прямоугольного треугольника)

   Таким образом, два прямоугольных треугольника равны по двум сторонам (катет \( AC \) и прилежащий к нему катет \( BC \) — нет, здесь прилежащий острый угол \( igangle A \) и противолежащий катет \( BC \)) и углу между ними — нет, это не тот признак.

   Рассмотрим признак равенства по катету и прилежащему острому углу. У нас есть катет \( AC = A'C' \) и прилежащий острый угол \( igangle A = igangle A' \). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( riangle ABC = riangle A'B'C' \).

4. Шаг 4: Альтернативное доказательство (по катету и противолежащему углу).

   Если мы используем катет и противолежащий угол, то:

   • \( AC = A'C' \) (равные катеты)
   • \( igangle B = igangle B' \) (противолежащие углы)

   В прямоугольном треугольнике мы знаем, что \( ext{tg}(igangle B) = rac{AC}{BC} \) и \( ext{tg}(igangle B') = rac{A'C'}{B'C'} \). Так как \( AC = A'C' \) и \( igangle B = igangle B' \), то \( ext{tg}(igangle B) = ext{tg}(igangle B') \), что верно.

   Также, \( ext{ctg}(igangle B) = rac{BC}{AC} \) и \( ext{ctg}(igangle B') = rac{B'C'}{A'C'} \). Так как \( AC = A'C' \) и \( igangle B = igangle B' \), то \( ext{ctg}(igangle B) = ext{ctg}(igangle B') \), следовательно, \( BC = B'C' \) (равные катеты).

   Итак, мы имеем:

   • \( AC = A'C' \) (по условию)
   • \( BC = B'C' \) (доказано выше)
   • \( igangle C = igangle C' = 90^ ext{o} \)

   По двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников) \( riangle ABC = riangle A'B'C' \).

5. Шаг 5: Формулировка признака.

   Таким образом, прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему ему острому углу.

Ответ: Прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему ему острому углу.