II. Векторы а и в образуют угол 30°, |а| = 2, |b| = √3. Найти |a + 2b| и a ⋅ a

Дано:

Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 30^{\circ} \).

\( |\vec{a}| = 2 \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{3} \)

Найти:

1. \( |\vec{a} + 2\vec{b}| \)
2. \( \vec{a} \cdot \vec{a} \)

Решение:

1. Найдём \( |\vec{a} + 2\vec{b}| \):
   \( |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \)
   \( = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{a} \cdot (2\vec{b}) + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{b}) \)
   \( = |\vec{a}|^2 + 4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 \cdot |\vec{b}|^2 \)
   Найдем \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):
   \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \)
   Теперь подставим значения:
   \( |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 2^2 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 + 12 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 + 12 = 28 \)
   \( |\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \)
2. Найдём \( \vec{a} \cdot \vec{a} \):
   Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины.
   \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 2^2 = 4 \)

Ответ: \( |\vec{a} + 2\vec{b}| = 2\sqrt{7} \), \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 4 \).