III. Аналитическая геометрия. 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M₀(4, 3) и точку пересечения прямых из пункта I.2. 2. Вычислить угол между прямыми из п. I.2. 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁(1, 3, 2), M₂(1, −1, 0), M₃(0, 3, −1). 4. Найти расстояние от точки M(2, −1, 0) до плоскости из п. III.3. 5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2, −1, 0) и параллельной вектору e(0, −1, 2). 6. Определить точку пересечения прямой из п. 5 и плоскости 2x−y+4z−23=0. 7. Определить угол между прямой из п. 5 и плоскостью из п. 3.

1. Для построения прямой нужны уравнения прямых из пункта I.2, чтобы найти их точку пересечения. Эти данные на изображении отсутствуют, поэтому пункт решить нельзя.

2. Для вычисления угла нужны уравнения прямых из пункта I.2. Эти данные на изображении отсутствуют, поэтому пункт решить нельзя.

3. Направляющие векторы плоскости: \(\overrightarrow{M_1M_2}=(0,-4,-2)\), \(\overrightarrow{M_1M_3}=(-1,0,-3)\). Их векторное произведение можно взять равным нормали \(\vec n=(6,1,-2)\). Подставим точку \(M_1(1,3,2)\) в уравнение плоскости:

\(6(x-1)+(y-3)-2(z-2)=0\), откуда \(6x+y-2z-5=0\).

4. Для точки \(M(2,-1,0)\) и плоскости \(6x+y-2z-5=0\):

\(d=\dfrac{|6\cdot2+(-1)-2\cdot0-5|}{\sqrt{6^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{41}}\).

5. Прямая проходит через \((2,-1,0)\) и имеет направляющий вектор \((0,-1,2)\), поэтому

\((x,y,z)=(2,-1,0)+t(0,-1,2)\), или \(x=2,\ y=-1-t,\ z=2t\).

6. Подставим параметрическое уравнение прямой из п. 5 в уравнение плоскости:

\(2\cdot2-(-1-t)+4\cdot2t-23=0\), то есть \(-18+9t=0\), откуда \(t=2\). Тогда \(x=2,\ y=-3,\ z=4\).

7. Направляющий вектор прямой \(\vec v=(0,-1,2)\), нормальный вектор плоскости из п. 3 — \(\vec n=(6,1,-2)\). Угол \(\alpha\) между прямой и плоскостью удовлетворяет равенству \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}\). Поэтому

\(\sin\alpha=\dfrac{|0\cdot6-1-4|}{\sqrt5\sqrt{41}}=\dfrac{5}{\sqrt{205}}\), следовательно, \(\alpha=\arcsin\left(\dfrac{5}{\sqrt{205}}\right)\approx20.4^\circ\).

Ответ: 3) \(6x+y-2z-5=0\); 4) \(\dfrac{6}{\sqrt{41}}\); 5) \((x,y,z)=(2,-1,0)+t(0,-1,2)\); 6) \((2,-3,4)\); 7) \(\arcsin\left(\dfrac{5}{\sqrt{205}}\right)\approx20.4^\circ\). Для пунктов 1 и 2 нужны данные из I.2.