III. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD делит пополам угол BAD. Найти периметр трапеции, если основание AD равно 12 см, а угол ADC равен 60°.

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, поэтому \(\angle BAD=\angle ADC=60^\circ\). Диагональ AC делит угол BAD пополам, значит \(\angle CAD=30^\circ\).

Рассмотрим треугольник ADC: его углы равны 30°, 60° и 90°, а гипотенуза \(AD=12\) см. Поэтому \(CD=6\) см. Боковые стороны равнобедренной трапеции равны: \(AB=CD=6\) см.

Так как \(AD\parallel BC\), углы \(CAD\) и \(ACB\) равны, следовательно, \(\angle ACB=30^\circ\). Также \(\angle BAC=30^\circ\), поэтому в треугольнике ABC равны стороны \(AB\) и \(BC\). Значит, \(BC=6\) см.

Периметр: \(P=AD+BC+AB+CD=12+6+6+6=30\) см.

Ответ: 30 см.