III. Сравните значения выражений: а) 47,5² − 42,5² и 90; б) (6,7³ + 1,7³) / 8,4 и 6,7² + 1,7²; в) 67 1/3 · 64 2/3 и 66²; г) (3,9⁵ − 1,9⁵) / 2 и 3,9⁴ + 1,9⁴.

а) Используем формулу разности квадратов: \(47.5^2-42.5^2=(47.5-42.5)(47.5+42.5)=5\cdot90=450\). Сравниваем: \(450>90\).

б) По формуле суммы кубов: \(6.7^3+1.7^3=(6.7+1.7)(6.7^2-6.7\cdot1.7+1.7^2)\). Так как \(6.7+1.7=8.4\), то
\(\dfrac{6.7^3+1.7^3}{8.4}=6.7^2-6.7\cdot1.7+1.7^2\).
Следовательно, это выражение меньше, чем \(6.7^2+1.7^2\), на \(6.7\cdot1.7\).

в) Представим смешанные числа: \(67\dfrac13=\dfrac{202}{3}\), \(64\dfrac23=\dfrac{194}{3}\). Их произведение:
\(\dfrac{202}{3}\cdot\dfrac{194}{3}=\dfrac{39188}{9}=4354\dfrac49\).
\(66^2=4356\), поэтому \(67\dfrac13\cdot64\dfrac23<66^2\).

г) По формуле разности пятых степеней:
\(3.9^5-1.9^5=(3.9-1.9)(3.9^4+3.9^3\cdot1.9+3.9^2\cdot1.9^2+3.9\cdot1.9^3+1.9^4)\).
Так как \(3.9-1.9=2\), левая часть равна сумме пяти положительных слагаемых, включая \(3.9^4+1.9^4\). Поэтому \(\dfrac{3.9^5-1.9^5}{2}>3.9^4+1.9^4\).

Ответ: а) \(47.5^2-42.5^2>90\); б) \(\dfrac{6.7^3+1.7^3}{8.4}<6.7^2+1.7^2\); в) \(67\dfrac13\cdot64\dfrac23<66^2\); г) \(\dfrac{3.9^5-1.9^5}{2}>3.9^4+1.9^4\).