III. Сумма и разность кубов. a³ + b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²) 5. Разложите на множители.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. \[ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \)

2. \[ m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2) \)

3. \[ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - 2a + 4) \)

4. \[ b^3 - 27 = b^3 - 3^3 = (b-3)(b^2 + 3b + 9) \)

5. \[ 64 + c^3 = 4^3 + c^3 = (4+c)(16 - 4c + c^2) \)

6. \[ 125 - d^3 = 5^3 - d^3 = (5-d)(25 + 5d + d^2) \)

7. \[ m^3 + 216 = m^3 + 6^3 = (m+6)(m^2 - 6m + 36) \)

8. \[ 343 + n^3 = 7^3 + n^3 = (7+n)(49 - 7n + n^2) \)

9. \[ 8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x-1)((2x)^2 + 2x · 1 + 1^2) = (2x-1)(4x^2 + 2x + 1) \)

10. \[ 1 + 1000y^3 = 1^3 + (10y)^3 = (1+10y)(1^2 - 1 · 10y + (10y)^2) = (1+10y)(1 - 10y + 100y^2) \)

11. \[ 16a^3 - 27c^3 \) - это не сумма или разность кубов. Возможно, опечатка и имелось в виду \( (4a)^3 - (3c)^3 \) или \( (2a)^3 - (3c)^3 \) или \( (4a^1.5)^2 - (3c^1.5)^2 \). Если это \( 64a^3 - 27c^3 \), то: \[ (4a)^3 - (3c)^3 = (4a-3c)(16a^2 + 12ac + 9c^2) \)

12. \[ 343b^3 + 8d^3 = (7b)^3 + (2d)^3 = (7b+2d)((7b)^2 - 7b · 2d + (2d)^2) = (7b+2d)(49b^2 - 14bd + 4d^2) \)

13. \[ 64x^6 - 125m^3 = (4x^2)^3 - (5m)^3 = (4x^2-5m)((4x^2)^2 + 4x^2 · 5m + (5m)^2) = (4x^2-5m)(16x^4 + 20x^2m + 25m^2) \)

14. \[ 729n^{12} + 1 \) - это не сумма кубов. Возможно, опечатка. Если бы было \( 729n^9 + 1 \), то: \[ (9n^3)^3 + 1^3 = (9n^3+1)((9n^3)^2 - 9n^3 + 1) = (9n^3+1)(81n^6 - 9n^3 + 1) \)

15. \[ 8y^3 + 512z^9 = (2y)^3 + (8z^3)^3 = (2y+8z^3)((2y)^2 - 2y · 8z^3 + (8z^3)^2) = (2y+8z^3)(4y^2 - 16yz^3 + 64z^6) \)