III вариант Решите уравнение (1-5): 1.2x-2-2-x. 10 3. V4x²-1-V-8x-2. 2. V8-10 sinx=-2 cos x. 4. lg cos2x=lg cos x. 5. x²-3x+lg cosx=lgcosx-1.

Ответ: 1. x=3; 3. x=-1/2; 4. x = π/2 + πn, n ∈ Z; 5. x=1

1. \(\sqrt{2x-2} = 2-x\)

• ОДЗ: \(2x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\) и \(2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2\). Таким образом, \(1 \le x \le 2\).
• Возводим обе части в квадрат:

\[2x-2 = (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\]\[x^2 - 6x + 6 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}\]

• Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:
• \(x_1 = 3 + \sqrt{3} > 2\) (не подходит)
• \(x_2 = 3 - \sqrt{3} \approx 3 - 1.73 = 1.27\) (подходит)

Ответ: \(x = 3 - \sqrt{3}\)

3. \(\sqrt[10]{4x^2-1} = \sqrt[10]{-8x-2}\)

• ОДЗ: \(4x^2 - 1 \ge 0\) и \(-8x-2 \ge 0\).
• Уравнение эквивалентно:

\[4x^2 - 1 = -8x - 2\]\[4x^2 + 8x + 1 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]

• Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:
• \(x_1 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -1 + 0.87 = -0.13\)
• \(x_2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -1 - 0.87 = -1.87\)
• Проверка:

Показать пошаговые вычисления

• Для \(x_1 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[4(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 4(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4}) - 1 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 - 1 = 6 - 4\sqrt{3} \ge 0\]\[-8(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 = 8 - 4\sqrt{3} - 2 = 6 - 4\sqrt{3} \ge 0\]

• Для \(x_2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[4(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 4(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}) - 1 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 1 = 6 + 4\sqrt{3} \ge 0\]\[-8(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 = 8 + 4\sqrt{3} - 2 = 6 + 4\sqrt{3} \ge 0\]

• Оба корня подходят.

Ответ: \(x = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

4. \(\lg(\cos 2x) = \lg(\cos x)\)

• ОДЗ: \(\cos 2x > 0\) и \(\cos x > 0\).
• Уравнение эквивалентно:

\[\cos 2x = \cos x\]\[2\cos^2 x - 1 = \cos x\]\[2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\]

• Пусть \(y = \cos x\), тогда:

\[2y^2 - y - 1 = 0\]\[y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}\]

• \(y_1 = 1\) и \(y_2 = -\frac{1}{2}\)
• Возвращаемся к \(x\):
• \(\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in Z\)
• \(\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\)
• Проверяем ОДЗ:

\[\cos(2x) > 0\]

• Для \(x = 2\pi n\): \(\cos(4\pi n) = 1 > 0\) (подходит)
• Для \(x = \frac{2\pi}{3}\): \(\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0\) (не подходит)
• Для \(x = -\frac{2\pi}{3}\): \(\cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} < 0\) (не подходит)

Ответ: \(x = 2\pi n, n \in Z\)

5. \(x^2 - 3x + \lg(\cos x) = \lg(\cos x) - 1\)

• Уравнение упрощается до:

\[x^2 - 3x = -1\]\[x^2 - 3x + 1 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\]

• ОДЗ: \(\cos x > 0\)
• Проверяем корни:
• \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.24}{2} = 2.62\)
• \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.24}{2} = 0.38\)
• Проверяем \(\cos x > 0\):

Показать пошаговые вычисления

• Для \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) (в радианах):

\[\cos(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) \approx \cos(2.62) < 0\]

• Для \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) (в радианах):

\[\cos(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \approx \cos(0.38) > 0\]

Ответ: \(x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)

Ответ: 1. x=3 - √3; 3. x=-1 ± (√3)/2; 4. x = 2πn, n ∈ Z; 5. x=(3 - √5)/2