Ответ:

  1. После смерти царя Фёдора Ивановича, не оставившего наследника, династия Рюриковичей оборвалась.
    Грамматическая основа: династия оборвалась. Причастный оборот «не оставившего наследника» относится к слову «Фёдора Ивановича» и стоит после него, поэтому выделяется запятыми.
    Схема: [определяемое слово, причастный оборот, основа].
  2. Ситуация усугубилась с появлением на политической арене человека, называвшего себя оставшимся в живых царевичем Дмитрием.
    Грамматическая основа: ситуация усугубилась. Причастный оборот относится к слову «человека» и стоит после него, поэтому перед оборотом ставится запятая.
    Схема: [основа, определяемое слово, причастный оборот].
  3. Воцарение Отрепьева, вошедшего в историю как Лжедмитрий I, ознаменовало начало полного политического хаоса в стране.
    Грамматическая основа: воцарение ознаменовало. Причастный оборот относится к слову «Отрепьева» и стоит после него, поэтому обособляется с двух сторон.
    Схема: [определяемое слово, причастный оборот, основа].
  4. Поддерживавшие самозванцев польские интервенты начали устанавливать в стране свои порядки.
    Грамматическая основа: интервенты начали устанавливать. Причастный оборот «поддерживавшие самозванцев» стоит перед определяемым словом «интервенты», поэтому запятыми не выделяется.
    Схема: [причастный оборот + определяемое слово] — основа.
  5. Хотя часть знати и служилого люда приняли новую власть, в России осталось немало людей, не желавших подчиниться чужеземцам.
    Грамматические основы: часть приняла (в тексте: «часть … приняли»); немало осталось. Оборот «не желавших подчиниться чужеземцам» относится к слову «людей» и стоит после него, поэтому отделяется запятой. Запятая после слова «власть» отделяет придаточную часть с союзом «хотя».
    Схема: (Хотя …), [основа, определяемое слово, причастный оборот].