или На рис. 1 изображены два треугольника. Они разбивают плоскость на четыре части. На свободном поле справа, обозначенном как рис. 2, нарисуйте два треугольника так, чтобы они разбивали плоскость на семь частей.

Решение:

Чтобы два треугольника разбили плоскость на семь частей, необходимо расположить их таким образом, чтобы они пересекались, и при этом каждый новый отрезок (сторона треугольника) пересекал как можно больше уже существующих областей.

Начнем с одного треугольника. Он разбивает плоскость на 2 части (внутренность и внешность).

Добавим второй треугольник. Если он не пересекает первый, будет 4 части. Если он пересекает первый, то каждая сторона второго треугольника, пересекающая существующие области, будет создавать новую часть.

Рассмотрим, как расположить треугольники для получения 7 частей:

1. Нарисуйте первый треугольник. Он делит плоскость на 2 части.
2. Нарисуйте второй треугольник так, чтобы он пересекал первый, но при этом его стороны пересекали как можно больше существующих областей.
3. Оптимальное расположение: Первый треугольник располагается так, чтобы он занимал основную часть плоскости. Второй треугольник располагается так, чтобы он пересекал первый треугольник, и при этом одна из его вершин находилась вне области первого треугольника, а две стороны пересекали как внутреннюю, так и внешнюю область первого треугольника.
4. Таким образом, первое пересечение сторон второго треугольника с первым даст 2 новые части. Оставшиеся части будут созданы за счет пересечения сторон второго треугольника с областями, уже разделенными первым треугольником.

Пример расположения для 7 частей:

Нарисуйте первый треугольник (обозначим его T1). Затем нарисуйте второй треугольник (T2) так, чтобы он пересекал T1, но при этом вершины T2 были расположены следующим образом:

• Одна вершина T2 находится внутри T1.
• Две другие вершины T2 находятся вне T1.
• Стороны T2 пересекают стороны T1.

  Результат:

  1. Внешняя область T1.

  2. Внутренняя область T1.

  3. Первая пересекающаяся область T2 внутри T1.

  4. Вторая пересекающаяся область T2 внутри T1.

  5. Область T2, которая частично пересекается с внешней частью T1.

  6. Область T2, которая пересекается с другой внешней частью T1.

  7. Часть плоскости, не входящая ни в T1, ни в T2, но прилегающая к T2.

Примечание: Рисунок 2 не может быть здесь представлен, так как это текстовый формат. В тетради необходимо нарисовать два треугольника, следуя приведенным рекомендациям, чтобы они делили плоскость на 7 частей.