ИЛИ Найдите значение выражения $$\frac{a^3 \cdot \sqrt[8]{a^3}}{a^2}$$ при a = 64.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней и корней.

$$\frac{a^3 \cdot \sqrt[8]{a^3}}{a^2} = \frac{a^3 \cdot a^{\frac{3}{8}}}{a^2} = a^{3 + \frac{3}{8} - 2} = a^{1 + \frac{3}{8}} = a^{\frac{11}{8}}$$

Теперь подставим значение a = 64.

$$64^{\frac{11}{8}} = (2^6)^{\frac{11}{8}} = 2^{\frac{66}{8}} = 2^{\frac{33}{4}} = (2^{\frac{1}{4}})^{33} = (\sqrt[4]{2})^{33}$$

Так как нас просят найти *значение* выражения, а не просто упростить, то необходимо произвести вычисления до конца.

$$64^{\frac{11}{8}} = (64^{\frac{1}{8}})^{11} = (\sqrt[8]{64})^{11} = (\sqrt[8]{2^6})^{11} = (2^{\frac{6}{8}})^{11} = (2^{\frac{3}{4}})^{11} = (\sqrt[4]{2^3})^{11} = (\sqrt[4]{8})^{11}$$.

Однако можно заметить, что $$64^{\frac{11}{8}} = (64^{\frac{1}{8}})^{11} = (\sqrt[8]{2^6})^{11} = (2^{\frac{3}{4}})^{11} = 2^{\frac{33}{4}} = 2^{8 + \frac{1}{4}} = 2^8 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 256\sqrt[4]{2}$$

Ответ: $$256\sqrt[4]{2}$$