Илья ходил в туристический поход. Группа туристов состояла из 14 человек. Вернувшись из похода, Илья сообщил, что каждый турист был ранее знаком с 5 другими туристами. Возможно ли это?

Решение:

Для решения этой задачи можно использовать теорию графов. Представим каждого туриста как вершину графа, а знакомство между двумя туристами — как ребро, соединяющее соответствующие вершины.

Условие задачи гласит, что всего туристов 14 (то есть 14 вершин). Каждый турист знаком ровно с 5 другими туристами. В теории графов это означает, что степень каждой вершины равна 5 (каждая вершина имеет 5 рёбер, исходящих из неё).

Известна теорема о рукопожатиях (или лемма о сумме степеней), которая гласит, что сумма степеней всех вершин в любом графе всегда равна удвоенному числу его рёбер. Это означает, что сумма степеней должна быть чётным числом.

В нашем случае:

1. Число вершин (туристов) = 14.
2. Степень каждой вершины (количество знакомых) = 5.
3. Сумма степеней всех вершин = 14 (туристов) \(\times\) 5 (знакомых) = 70.

Полученная сумма степеней (70) является чётным числом. Это не противоречит теореме о рукопожатиях, поскольку 70 = 2 \(\times\) 35, где 35 — это удвоенное число рёбер (знакомств).

Таким образом, математически такая ситуация возможна.

Ответ: Возможно.