Илья задумал натуральное число. Он прибавил к числу сумму его цифр и получил 96. Какое число задумал Илья? Объясните решение.

Пусть (x) – задуманное число, и пусть оно двузначное, то есть (x = 10a + b), где (a) и (b) – цифры этого числа. По условию задачи, Илья прибавил к числу сумму его цифр и получил 96. Это можно записать следующим образом: (10a + b + a + b = 96) Упростим уравнение: (11a + 2b = 96) Теперь нам нужно найти такие натуральные числа (a) и (b), которые удовлетворяют этому уравнению, при этом (1 \le a \le 9) и (0 \le b \le 9). Выразим (b) через (a): (2b = 96 - 11a) (b = \frac{96 - 11a}{2}) Поскольку (b) должно быть целым числом, (96 - 11a) должно быть четным. Это означает, что (11a) должно быть четным, а следовательно, (a) должно быть четным. Переберем возможные значения для (a): 2, 4, 6, 8. Если (a = 2), то (b = \frac{96 - 11 \times 2}{2} = \frac{96 - 22}{2} = \frac{74}{2} = 37). Это не подходит, так как (b) должно быть меньше или равно 9. Если (a = 4), то (b = \frac{96 - 11 \times 4}{2} = \frac{96 - 44}{2} = \frac{52}{2} = 26). Это тоже не подходит, так как (b) должно быть меньше или равно 9. Если (a = 6), то (b = \frac{96 - 11 \times 6}{2} = \frac{96 - 66}{2} = \frac{30}{2} = 15). Это также не подходит. Если (a = 8), то (b = \frac{96 - 11 \times 8}{2} = \frac{96 - 88}{2} = \frac{8}{2} = 4). Это подходит, так как (0 \le b \le 9). Таким образом, (a = 8) и (b = 4), значит, задуманное число (x = 10 \times 8 + 4 = 84). Проверим: (84 + 8 + 4 = 96). Ответ: 84