Image contains mathematical expressions.

Представлена система уравнений:

\[\begin{cases} \frac{x+y}{x^2-y^2} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6} \\ \frac{x^2+xy}{xy-y^2} = \frac{1}{6} \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений по шагам.

Шаг 1: Упрощение первого уравнения

Заметим, что x² - y² = (x - y)(x + y). Тогда первое уравнение можно переписать как:

\[\frac{x+y}{(x-y)(x+y)} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6}\]

Сокращаем (x + y) в первом члене:

\[\frac{1}{x-y} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6}\]

Шаг 2: Упрощение второго уравнения

Вынесем x в числителе и y в знаменателе:

\[\frac{x(x+y)}{y(x-y)} = \frac{1}{6}\]

Шаг 3: Выражение из второго уравнения

Из второго уравнения выразим x через y:

\[6x(x+y) = y(x-y)\]\[6x^2 + 6xy = xy - y^2\]\[6x^2 + 5xy + y^2 = 0\]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения относительно x

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно x. Разделим обе части на y²:

\[6\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 5\left(\frac{x}{y}\right) + 1 = 0\]

Пусть t = x/y, тогда уравнение примет вид:

\[6t^2 + 5t + 1 = 0\]

Находим дискриминант:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1\]

Корни:

\[t_1 = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\] \[t_2 = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\]

Шаг 5: Находим значения x через y

Тогда имеем два случая:

1. x = -y/3
2. x = -y/2

Шаг 6: Подставляем в первое уравнение

Рассмотрим первый случай: x = -y/3

\[\frac{1}{-\frac{y}{3} - y} + \frac{-\frac{y}{3}}{y} = -\frac{5}{6}\] \[\frac{1}{-\frac{4y}{3}} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}\] \[-\frac{3}{4y} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}\] \[-\frac{3}{4y} = -\frac{5}{6} + \frac{1}{3}\] \[-\frac{3}{4y} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\] \[4y = 6\]\[y = \frac{3}{2}\]

Тогда x = -y/3 = -1/2

Рассмотрим второй случай: x = -y/2

\[\frac{1}{-\frac{y}{2} - y} + \frac{-\frac{y}{2}}{y} = -\frac{5}{6}\] \[\frac{1}{-\frac{3y}{2}} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{6}\] \[-\frac{2}{3y} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{6}\] \[-\frac{2}{3y} = -\frac{5}{6} + \frac{1}{2}\] \[-\frac{2}{3y} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\] \[3y = 6\] \[y = 2\]

Тогда x = -y/2 = -1

Шаг 7: Проверка решений

Проверим первое решение x = -1/2, y = 3/2:

\[\frac{\frac{-1}{2} + \frac{3}{2}}{(\frac{-1}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} + \frac{\frac{-1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4} - \frac{9}{4}} - \frac{1}{3} = \frac{1}{-2} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}\]

Проверим второе решение x = -1, y = 2:

\[\frac{-1 + 2}{(-1)^2 - 2^2} + \frac{-1}{2} = \frac{1}{1 - 4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{-3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{6}\]

Ответ:

Решения системы:

1. x = -1/2, y = 3/2
2. x = -1, y = 2