Имеет ли решения система и сколько?

Решение:

Дана система линейных уравнений:

\(\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases}\)

Чтобы определить, имеет ли система решения и сколько их, мы можем сравнить коэффициенты уравнений.

Умножим первое уравнение на 2:

\(2 × (5x + 2y) = 2 × 3 \)

\(10x + 4y = 6\)

Теперь сравним это полученное уравнение со вторым уравнением исходной системы:

Полученное: \( 10x + 4y = 6 \)

Второе из системы: \( -10x + 4y = 6 \)

Видим, что уравнения не идентичны (коэффициенты при x отличаются знаком), но при этом одно уравнение не является кратным другому, и уравнения не противоречат друг другу напрямую.

Другой способ — решить систему методом подстановки или сложения.

Из первого уравнения выразим \( 2y \):

\(2y = 3 - 5x \)

\(y = \frac{3 - 5x}{2}\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(-10x + 4 × \left( \frac{3 - 5x}{2} \right) = 6 \)

\(-10x + 2 × (3 - 5x) = 6 \)

\(-10x + 6 - 10x = 6 \)

\(-20x = 6 - 6 \)

\(-20x = 0 \)

\(x = 0 \)

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 0 \) в выражение для \( y \):

\(y = \frac{3 - 5 × 0}{2} = \frac{3}{2} \)

\(y = 1.5 \)

Система имеет одно решение: \( x = 0, y = 1.5 \).

Ответ: Система имеет одно решение.