Имеется 21 коробка массой по 24 кг и 19 коробок массой по 18 кг каждая. Все коробки раскладываются по двум контейнерам так, чтобы количество коробок в контейнерах было одинаковым. Пусть S – модуль разности суммарной массы коробок в одном контейнере и суммарной массы коробок в другом контейнере. Найти наименьшее значение S.

Решение:

Общее количество коробок: \( 21 + 19 = 40 \) штук.

Так как коробки раскладываются по двум контейнерам одинаково, в каждом контейнере будет по \( 40 / 2 = 20 \) коробок.

Обозначим через \( x \) количество коробок массой 24 кг в первом контейнере. Тогда \( 20 - x \) — это количество коробок массой 18 кг в первом контейнере.

Масса первого контейнера: \( 24x + 18(20 - x) = 24x + 360 - 18x = 6x + 360 \) кг.

Во втором контейнере будет \( 21 - x \) коробок массой 24 кг и \( 19 - (20 - x) = 19 - 20 + x = x - 1 \) коробок массой 18 кг.

Масса второго контейнера: \( 24(21 - x) + 18(x - 1) = 504 - 24x + 18x - 18 = 486 - 6x \) кг.

\( S \) — модуль разности масс контейнеров:

\[ S = |(6x + 360) - (486 - 6x)| = |6x + 360 - 486 + 6x| = |12x - 126| \)

Количество коробок массой 24 кг в первом контейнере \( x \) должно удовлетворять условиям:

• \( 0 ≤ x ≤ 21 \) (общее количество коробок массой 24 кг)
• \( 0 ≤ 20 - x ≤ 19 \) (общее количество коробок массой 18 кг)

Из \( 20 - x ≤ 19 \) следует \( x ≥ 1 \).

Из \( 0 ≤ 20 - x \) следует \( x ≤ 20 \).

Совмещая все условия, получаем: \( 1 ≤ x ≤ 20 \).

Нам нужно найти наименьшее значение \( S = |12x - 126| \) при \( 1 ≤ x ≤ 20 \).

Наименьшее значение выражения \( |12x - 126| \) достигается, когда \( 12x - 126 \) максимально приближено к нулю.

Решим уравнение \( 12x - 126 = 0 \):

\[ 12x = 126 \]

\[ x = \frac{126}{12} = \frac{21}{2} = 10.5 \]

Так как \( x \) должно быть целым числом (количество коробок), то ближайшие целые значения к \( 10.5 \) — это \( 10 \) и \( 11 \).

Проверим эти значения:

• При \( x = 10 \): \( S = |12 · 10 - 126| = |120 - 126| = |-6| = 6 \) кг.
• При \( x = 11 \): \( S = |12 · 11 - 126| = |132 - 126| = |6| = 6 \) кг.

Наименьшее значение \( S \) равно 6 кг.

Ответ: 6 кг.