Имеется ли в последовательности, заданной формулой $n$-го члена: 1) $a_n=37-2n$, член, равный 17; 2) $a_n=49-3n$, член, равный $-7$; 3) $a_n=3n-2n^2$, член, равный $-104$; 4) $a_n=\dfrac{4n+3}{n+1}$, член, равный 13?

Question

Вопрос: $Фото задания: Имеется ли в последовательности, заданной формулой $n$-го члена: 1) $a_n=37-2n$, член, равный 17; 2) $a_n=49-3n$, член,…$ Фото задания

Имеется ли в последовательности, заданной формулой $n$-го члена: 1) $a_n=37-2n$, член, равный 17; 2) $a_n=49-3n$, член, равный $-7$; 3) $a_n=3n-2n^2$, член, равный $-104$; 4) $a_n=\dfrac{4n+3}{n+1}$, член, равный 13?

Accepted Answer

Индекс $n$ должен быть натуральным числом.

Приравниваем формулу к 17: $37-2n=17$, откуда $2n=20$ и $n=10$. Это натуральный индекс, значит, такой член есть: $a_{10}=17$.
Приравниваем формулу к $-7$: $49-3n=-7$, откуда $3n=56$ и $n=\dfrac{56}{3}$. Индекс не натуральный, значит, такого члена нет.
Решаем уравнение $3n-2n^2=-104$: $2n^2-3n-104=0$. Дискриминант $D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-104)=841=29^2$, поэтому $n=\dfrac{3\pm29}{4}$. Получаем $n=8$ или $n=-\dfrac{13}{2}$. Подходит натуральный индекс $n=8$, значит, такой член есть: $a_8=-104$.
Приравниваем формулу к 13: $\dfrac{4n+3}{n+1}=13$. Так как $n+1\ne0$ для натурального $n$, умножаем на знаменатель: $4n+3=13n+13$, откуда $n=-\dfrac{10}{9}$. Это не натуральное число, значит, такого члена нет.

Ответ: 1) да, $a_{10}=17$; 2) нет; 3) да, $a_8=-104$; 4) нет.