Имеются числа \(\frac{a}{2-a}\) и \(\sqrt{2a-4}\). Определите, при каких значениях параметра а эти числа принадлежат отрезку [-3; 2]. Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Решение:

Для того чтобы оба числа принадлежали отрезку \([-3; 2]\), должны выполняться следующие условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 2a - 4 \ge 0 \), что означает \( 2a \ge 4 \), или \( a \ge 2 \).


2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: \( 2 - a
   e 0 \), что означает \( a
   e 2 \).


3. Дробь \(\frac{a}{2-a}\) должна принадлежать отрезку \([-3; 2]\).


4. Корень \(\sqrt{2a-4}\) должен принадлежать отрезку \([-3; 2]\).

Из условий \( a \ge 2 \) и \( a
e 2 \) следует, что \( a > 2 \).

Рассмотрим условие \( \sqrt{2a-4} \in [-3; 2] \). Так как корень всегда неотрицателен, условие сводится к \( \sqrt{2a-4} \le 2 \). Возведём обе части в квадрат: \( 2a - 4 \le 4 \), что даёт \( 2a \le 8 \), или \( a \le 4 \).

Теперь рассмотрим условие \( \frac{a}{2-a} \in [-3; 2] \). Учитывая, что \( a > 2 \), знаменатель \( 2 - a < 0 \). Умножим неравенство на \( 2 - a \) и поменяем знак неравенства:

• \( a \ge -3(2-a) \Rightarrow a \ge -6 + 3a \Rightarrow -2a \ge -6 \Rightarrow a \le 3 \).


• \( a \le 2(2-a) \Rightarrow a \le 4 - 2a \Rightarrow 3a \le 4 \Rightarrow a \le \frac{4}{3} \).

Однако, последнее условие \( a \le \frac{4}{3} \) противоречит тому, что \( a > 2 \). Рассмотрим случай, когда \( \frac{a}{2-a} \) находится в интервале \([-3; 0)\) (так как \( a > 0 \) и \( 2-a < 0 \), дробь отрицательна, а \(2\) — положительное число).

Если \( \frac{a}{2-a} \ge -3 \) и \( a > 2 \), то \( a \le 3 \).

Если \( \frac{a}{2-a} \le 2 \) и \( a > 2 \), то \( a \le 4/3 \), что невозможно.

Таким образом, у нас есть условия: \( a \ge 2 \), \( a
e 2 \), \( a \le 4 \), \( a \le 3 \). Объединяя их, получаем \( 2 < a \le 3 \).

Сравним варианты:

• При \( a \ge 2 \), так как выражение под знаком четного корня должно быть неотрицательным, поэтому \( 2a - 4 \ge 0 \) или \( 2a \ge 4 \); \( a \ge 2 \). Этот вариант не учитывает условие для дроби и верхнюю границу отрезка.


• При \( a
  e 2 \), так как выражение, стоящее в знаменателе, не должно обращаться в 0. Этот вариант не учитывает условия для корня и принадлежность чисел отрезку.


• При \( 3 \le a \le 4 \), так как выражение под знаком четного корня должно быть неотрицательным, выражение, стоящее в знаменателе, не должно обращаться в 0, и если \( a > 4 \) (например, если \( a = 5 \)), то выражение \( \sqrt{2a} - 4 \) будет равно \( \sqrt{10} - 4 = \sqrt{6} > 2 \), что противоречит условию задачи. Этот вариант верно указывает на условия для корня и знаменателя, но не полностью описывает диапазон для \(a\) и анализ дроби.

Поскольку наш анализ привел к интервалу \( (2; 3] \), и ни один из предложенных вариантов точно не описывает это условие, однако, вариант \( 3 \le a \le 4 \) близок к истине, учитывая, что \(a\) должно быть \(\) \(\) \(\) \(\) \( \le 3 \).

Проверим вариант \( 3 \le a \le 4 \):

• При \( a=3 \): \(\frac{3}{2-3} = -3\) (принадлежит [-3; 2]), \(\sqrt{2\cdot3-4} = \sqrt{2}\) (принадлежит [-3; 2]).


• При \( a=4 \): \(\frac{4}{2-4} = -2\) (принадлежит [-3; 2]), \(\sqrt{2\cdot4-4} = \sqrt{4} = 2\) (принадлежит [-3; 2]).

Проверим вариант \( a > 4 \) как в описании третьего варианта: при \( a=5 \), \(\frac{5}{2-5} = -5/3 \) (принадлежит [-3; 2]), \(\sqrt{2\cdot5-4} = \sqrt{6} \approx 2.45 \) (НЕ принадлежит [-3; 2]). Таким образом, \( a \le 4 \) для корня. И \( a \le 3 \) для дроби.

Следовательно, единственное условие, которое включает в себя все ограничения, это \( 2 < a \le 3 \). Среди предложенных вариантов, третий вариант, хоть и неточен, но содержит правильные рассуждения о свойствах корня и знаменателя, и его диапазон \( [3; 4] \) пересекается с верным интервалом \( (2; 3] \) в точке \( a=3 \).

Рассмотрим внимательно условие \( \frac{a}{2-a} \in [-3; 2] \) при \( a > 2 \). Мы получили \( a
le 3 \) из \( \frac{a}{2-a} \ge -3 \) и \( a
le 4/3 \) из \( \frac{a}{2-a} \le 2 \). Так как \( a > 2 \), то \( a
le 4/3 \) не выполняется. Это означает, что \( \frac{a}{2-a} \) никогда не может быть \(\) \(\) \(\) \(\) \( \le 2 \) при \( a > 2 \). Значит, \( \frac{a}{2-a} \) не может принадлежать отрезку \([-3; 2]\) при \( a > 2 \), если \( \frac{a}{2-a} \le 2 \).

Давайте пересмотрим неравенство \( \frac{a}{2-a} \le 2 \) при \( a > 2 \). Так как \( 2-a < 0 \), то \( a \ge 2(2-a) \Rightarrow a \ge 4 - 2a \Rightarrow 3a \ge 4 \Rightarrow a \ge 4/3 \). Это верно при \( a > 2 \).

Теперь \( \frac{a}{2-a} \ge -3 \) при \( a > 2 \). Так как \( 2-a < 0 \), то \( a \le -3(2-a) \Rightarrow a \le -6 + 3a \Rightarrow -2a \le -6 \Rightarrow a \ge 3 \).

Таким образом, для дроби нужно \( a
re 2 \) и \( a
re 3 \). Но при \( a > 2 \) мы получили \( a
re 3 \). Объединяя все условия: \( a
re 2 \), \( a
re 2 \), \( a
le 4 \), \( a
re 3 \). Получаем \( 2 < a
le 4 \) и \( a
re 3 \).

Перепроверим: \( \sqrt{2a-4} \le 2 \) даёт \( a \le 4 \). \( \frac{a}{2-a} \ge -3 \) даёт \( a
re 3 \) при \( a > 2 \). \( \frac{a}{2-a} \le 2 \) даёт \( a
re 4/3 \), что выполняется для \( a > 2 \).

Следовательно, для корня \( a
le 4 \) и \( a > 2 \). Для дроби \( a
re 3 \) и \( a > 2 \).

Объединяя все: \( 2 < a
le 4 \) и \( a
re 3 \).

Вернёмся к третьему варианту. Он говорит: \( 3 \le a \le 4 \). При \( a=3 \), \(\frac{3}{2-3} = -3 \) (ok), \(\sqrt{2\cdot3-4} = \sqrt{2} \) (ok). При \( a=4 \), \(\frac{4}{2-4} = -2 \) (ok), \(\sqrt{2\cdot4-4} = 2 \) (ok).

Если \( 3 < a < 4 \), например \( a=3.5 \): \(\frac{3.5}{2-3.5} = \frac{3.5}{-1.5} = -7/3 \) (ok), \(\sqrt{2\cdot3.5-4} = \sqrt{7-4} = \sqrt{3} \) (ok).

Таким образом, диапазон \( 3 \le a \le 4 \) подходит. В третьем варианте есть ошибка в объяснении при \( a=5 \), но сам диапазон \( 3 \le a \le 4 \) верен.

Ответ: При \( 3 \le a \le 4 \), так как выражение под знаком четного корня должно быть неотрицательным, выражение, стоящее в знаменателе, не должно обращаться в 0, и оба числа должны принадлежать отрезку \([-3; 2]\).