Имеются данные, характеризующие производительность труда (Y) и возраст работников предприятия (Х). Какая нелинейная регрессия наилучшем образом опишет представленную зависимость?

Решение:

Анализируем представленные на графике точки. Визуально видно, что зависимость между производительностью труда (Y) и возрастом работников (X) не является строго линейной. При увеличении возраста производительность сначала растет, достигает пика, а затем начинает снижаться. Это указывает на наличие нелинейной зависимости, возможно, квадратичной или степенной.

Рассмотрим предложенные варианты регрессий и их коэффициенты детерминации (R²), который показывает, какая доля дисперсии зависимой переменной объясняется моделью:

• Вариант 1: \( Y' = 0.6654 \cdot X + 82.125; R^2 = 0.314 \) - Линейная регрессия. Низкое значение R², не отражает нелинейную тенденцию.
• Вариант 2: \( Y' = -0.1195 \cdot X^2 - 8.8879 \cdot X - 46.511 \); \( R^2 = 0.7807 \) - Квадратичная регрессия. Высокое значение R² указывает на хорошее соответствие модели данным. Форма параболы (с отрицательным коэффициентом при \( X^2 \)) может описывать снижение производительности с возрастом после достижения пика.
• Вариант 3: \( Y' = 43.354 \cdot X^{0.252}; R^2 = 0.4183 \) - Степенная регрессия. Значение R² выше линейной, но ниже квадратичной.
• Вариант 4: \( Y' = 82.364e^{-0.0069X}; R^1 = 0.332 \) - Экспоненциальная регрессия. Значение R² сравнимо с линейной регрессией.

Наилучшим образом представленную зависимость описывает модель с наибольшим значением \( R^2 \), которым является квадратичная регрессия (Вариант 2).

Ответ: \( Y' = -0.1195 \cdot X^2 - 8.8879 \cdot X - 46.511 \); \( R^2 = 0.7807 \).