Имеются данные по трем российским предприятиям (см. таблицу ниже): | Группа предприятий | Групповые средние | Групповые дисперсии | Число предприятий | |---|---|---|---| | 1 | 14 | 396 | 20 | | 2 | 18 | 594 | 35 | | 3 | 29 | 493 | 16 | Чему равно эмпирическое корреляционное отношение?

Решение:

Эмпирическое корреляционное отношение (eta) рассчитывается по формуле:

\( \eta^2 = \frac{\sigma_{межд}^2}{\sigma_{общ}^2} \)

где \( \sigma_{межд}^2 \) — межгрупповая дисперсия, \( \sigma_{общ}^2 \) — общая дисперсия.

Сначала рассчитаем среднее значение по всем предприятиям:

\( \bar{X}_{общ} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \bar{X}_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i} \)

\( n_i \) — число предприятий в группе, \( \bar{X}_i \) — групповое среднее, \( k \) — число групп.

\( \bar{X}_{общ} = \frac{(20 \cdot 14) + (35 \cdot 18) + (16 \cdot 29)}{20 + 35 + 16} = \frac{280 + 630 + 464}{71} = \frac{1374}{71} \approx 19.35 \)

Теперь рассчитаем межгрупповую дисперсию (вариансу):

\( \sigma_{межд}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{общ})^2}{\sum_{i=1}^{k} n_i} \)

\( \sigma_{межд}^2 = \frac{20(14 - 19.35)^2 + 35(18 - 19.35)^2 + 16(29 - 19.35)^2}{71} \)

\( \sigma_{межд}^2 = \frac{20(-5.35)^2 + 35(-1.35)^2 + 16(9.65)^2}{71} \)

\( \sigma_{межд}^2 = \frac{20(28.62) + 35(1.82) + 16(93.12)}{71} \)

\( \sigma_{межд}^2 = \frac{572.4 + 63.7 + 1489.92}{71} = \frac{2126.02}{71} \approx 29.94 \)

Следующий шаг — рассчитать общую дисперсию. Общая дисперсия может быть найдена как сумма межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:

\( \sigma_{общ}^2 = \sigma_{межд}^2 + \sigma_{внутри}^2 \)

Сначала рассчитаем внутригрупповую дисперсию:

\( \sigma_{внутри}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{k} n_i} \)

где \( \sigma_i^2 \) — групповая дисперсия (значение из таблицы).

\( \sigma_{внутри}^2 = \frac{(20 \cdot 396) + (35 \cdot 594) + (16 \cdot 493)}{71} \)

\( \sigma_{внутри}^2 = \frac{7920 + 20790 + 7888}{71} = \frac{36600 - 2928}{71} = \frac{36598}{71} \approx 515.46 \)

Теперь найдём общую дисперсию:

\( \sigma_{общ}^2 = \sigma_{межд}^2 + \sigma_{внутри}^2 \approx 29.94 + 515.46 = 545.4 \)

Наконец, рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

\( \eta = \sqrt{\frac{\sigma_{межд}^2}{\sigma_{общ}^2}} \)

\( \eta = \sqrt{\frac{29.94}{545.4}} \approx \sqrt{0.0549} \approx 0.234 \)

Ответ: эмпирическое корреляционное отношение равно примерно 0.234.