Имеются данные по валовому внутреннему продукту (ВВП) России (млрд руб.) за период 2019–2021 гг. Каковы параметры a₀ и a₁ линейного тренда y' = a₀ + a₁ * t?

Решение:

Для определения параметров линейного тренда \( y' = a_0 + a_1 \cdot t \) необходимо вычислить средние значения \( y \), \( t \), \( t^2 \) и \( y \cdot t \) из предоставленной таблицы.

Вычисление среднего значения \( t \):

Сумма всех значений \( t \) равна 7. Количество наблюдений равно 12.

Среднее \( t \) = \( \frac{\sum t}{n} = \frac{7}{12} \)

Вычисление среднего значения \( y \):

Сумма всех значений \( y \) (ВВП) равна 28917.

Среднее \( y \) = \( \frac{\sum y}{n} = \frac{28917}{12} \)

Вычисление среднего значения \( t^2 \):

Сумма всех значений \( t^2 \) равна 54.

Среднее \( t^2 \) = \( \frac{\sum t^2}{n} = \frac{54}{12} \)

Вычисление среднего значения \( y \cdot t \):

Сумма всех значений \( y \cdot t \) равна 198509.

Среднее \( y \cdot t \) = \( \frac{\sum (y \cdot t)}{n} = \frac{198509}{12} \)

Расчёт параметров a₀ и a₁:

Формулы для расчёта параметров линейного тренда:

\( a_1 = \frac{\overline{y \cdot t} - \overline{y} \cdot \overline{t}}{\overline{t^2} - (\overline{t})^2} \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} \)

Подставляем значения из таблицы:

\( \overline{y} = 28917 \)

\( \overline{t} = 7 \)

\( \overline{t^2} = 54 \)

\( \overline{y \cdot t} = 198509 \)

\( a_1 = \frac{198509 - 28917 \cdot 7}{54 - 7^2} = \frac{198509 - 202419}{54 - 49} = \frac{-3910}{5} = -782 \)

\( a_0 = 28917 - (-782) \cdot 7 = 28917 + 5474 = 34391 \)

Примечание: В таблице указаны средние значения, а не суммы. Используем их для расчета.

Пересчет с использованием средних значений из строки "Средние":

\( \overline{t} = 7 \)

\( \overline{y} = 28917 \)

\( \overline{t^2} = 54 \)

\( \overline{y \cdot t} = 198509 \)

\( a_1 = \frac{\overline{y \cdot t} - \overline{y} \cdot \overline{t}}{\overline{t^2} - (\overline{t})^2} = \frac{198509 - 28917 \cdot 7}{54 - 7^2} = \frac{198509 - 202419}{54 - 49} = \frac{-3910}{5} = -782 \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} = 28917 - (-782) \cdot 7 = 28917 + 5474 = 34391 \)

Перепроверим расчеты, используя стандартные формулы для линейной регрессии, где \( \overline{t} \) — среднее значение \( t \), \( \overline{y} \) — среднее значение \( y \).

\( a_1 = \frac{\sum (t_i - \overline{t})(y_i - \overline{y})}{\sum (t_i - \overline{t})^2} = \frac{\sum t_i y_i - n \overline{t} \overline{y}}{\sum t_i^2 - n (\overline{t})^2} \)

Из таблицы:

\( \sum t = 7 \)

\( \sum y = 28917 \)

\( \sum t^2 = 54 \)

\( \sum (y \cdot t) = 198509 \)

\( n = 12 \)

\( \overline{t} = \frac{7}{12} \)

\( \overline{y} = \frac{28917}{12} \)

\( \overline{t^2} = \frac{54}{12} \)

\( \overline{y \cdot t} = \frac{198509}{12} \)

\( a_1 = \frac{\frac{198509}{12} - 12 \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{28917}{12}}{\frac{54}{12} - 12 \cdot (\frac{7}{12})^2} = \frac{\frac{198509}{12} - \frac{202419}{12}}{\frac{54}{12} - \frac{49}{12}} = \frac{\frac{-3910}{12}}{\frac{5}{12}} = -782 \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} = \frac{28917}{12} - (-782) \cdot \frac{7}{12} = \frac{28917 + 5474}{12} = \frac{34391}{12} \approx 2865.91 \)

Внимание: В таблице строка "Средние" содержит не суммы, а уже средние значения, т.е. \( \overline{t}=7, \overline{t^2}=54, \overline{y}=28917, \overline{y \cdot t}=198509 \). Поэтому формулы применяются напрямую к этим средним.

Корректный расчет с использованием средних значений:

\( \overline{t} = 7 \)

\( \overline{y} = 28917 \)

\( \overline{t^2} = 54 \)

\( \overline{y \cdot t} = 198509 \)

\( a_1 = \frac{\overline{y \cdot t} - \overline{y} \cdot \overline{t}}{\overline{t^2} - (\overline{t})^2} = \frac{198509 - 28917 \cdot 7}{54 - 7^2} = \frac{198509 - 202419}{54 - 49} = \frac{-3910}{5} = -782 \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} = 28917 - (-782) \cdot 7 = 28917 + 5474 = 34391 \)

Похоже, что в вариантах ответа и в таблице есть расхождения. Проверим расчеты для вариантов ответа.

Вариант 1: \( y' = 23163,40 + 885,17 \cdot t \)

\( a_0 = 23163.40 \), \( a_1 = 885.17 \)

Вариант 2: \( y' = 885,17 + 23163,40 \cdot t \)

\( a_0 = 885.17 \), \( a_1 = 23163.40 \)

Вариант 3: \( y' = 25874,36 + 1057,81 \cdot t \)

\( a_0 = 25874.36 \), \( a_1 = 1057.81 \)

Попробуем пересчитать \( a_0 \) и \( a_1 \) используя средние значения из таблицы:

\( n=12 \)

\( \sum t = 7 \)

\( \sum y = 28917 \)

\( \sum t^2 = 54 \)

\( \sum (y \cdot t) = 198509 \)

\( \overline{t} = \frac{7}{12} \)

\( \overline{y} = \frac{28917}{12} \approx 2409.75 \)

\( \overline{t^2} = \frac{54}{12} = 4.5 \)

\( \overline{y \cdot t} = \frac{198509}{12} \approx 16542.42 \)

\( a_1 = \frac{\sum (t_i - \overline{t})(y_i - \overline{y})}{\sum (t_i - \overline{t})^2} = \frac{\sum t_i y_i - n \overline{t} \overline{y}}{\sum t_i^2 - n (\overline{t})^2} \)

\( a_1 = \frac{198509 - 12 \cdot (\frac{7}{12}) \cdot (\frac{28917}{12})}{54 - 12 \cdot (\frac{7}{12})^2} = \frac{198509 - \frac{202419}{12}}{54 - \frac{49}{12}} = \frac{\frac{2382108 - 202419}{12}}{\frac{648 - 49}{12}} = \frac{2179689}{599} \approx 3638.88 \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} = \frac{28917}{12} - 3638.88 \cdot \frac{7}{12} = 2409.75 - 2122.66 = 287.09 \)

В таблице "Средние" столбец "t" равен 7, "ВВП" равен 28917, "t^2" равен 54, "ВВП*t" равен 198509. Используем эти значения как средние.

\( \overline{t} = 7 \)

\( \overline{y} = 28917 \)

\( \overline{t^2} = 54 \)

\( \overline{y \cdot t} = 198509 \)

\( a_1 = \frac{\overline{y \cdot t} - \overline{y} \cdot \overline{t}}{\overline{t^2} - (\overline{t})^2} = \frac{198509 - 28917 \cdot 7}{54 - 7^2} = \frac{198509 - 202419}{54 - 49} = \frac{-3910}{5} = -782 \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} = 28917 - (-782) \cdot 7 = 28917 + 5474 = 34391 \)

Перепроверим с учетом того, что данные в столбце "ВВП*t" могли быть уже умножены на количество лет.

Если принять \( t \) как порядковый номер квартала (1, 2, ..., 12), то:

\( \sum t = 1+2+...+12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \)

\( \sum t^2 = 1^2+2^2+...+12^2 = \frac{12(12+1)(2 · 12+1)}{6} = \frac{12 · 13 · 25}{6} = 2 · 13 · 25 = 650 \)

В таблице "Средние" значение t=7, t^2=54. Это говорит о том, что t, возможно, относится к номеру квартала внутри года, а не сквозной номер.

Предположим, что \( t \) в таблице - это сквозной номер квартала:

\( n = 12 \)

\( \sum t = 78 \)

\( \sum t^2 = 650 \)

\( \sum y \) - сумма ВВП по всем кварталам: 24552 + 26568 + 28246 + 29876 + 24757 + 23662 + 27581 + 30968 + 26771 + 30853 + 33911 + 39260 = 347005

\( \sum (y \cdot t) \) - сумма произведений ВВП на сквозной номер квартала.

\( a_1 = \frac{n \sum yt - \sum y \sum t}{n \sum t^2 - (\sum t)^2} \)

\( a_0 = \frac{\sum y - a_1 \sum t}{n} \)

Если принять, что \( t \) в таблице "Средние" - это среднее значение \( t \), а \( y \) - среднее значение \( y \), и \( t^2 \) - среднее значение \( t^2 \), \( y*t \) - среднее значение \( y*t \):

\( \overline{t}=7, \overline{y}=28917, \overline{t^2}=54, \overline{y \cdot t}=198509 \)

\( a_1 = \frac{198509 - 12 · 28917 · 7}{54 - 12 · 7^2} \) - это неверно, так как \( \overline{t^2} \) = 54, а \( (\overline{t})^2 = 7^2 = 49 \). Знаменатель должен быть \( \overline{t^2} - (\overline{t})^2 = 54 - 49 = 5 \).

\( a_1 = \frac{198509 - 28917 · 7}{54 - 49} = \frac{198509 - 202419}{5} = \frac{-3910}{5} = -782 \)

\( a_0 = 28917 - (-782) · 7 = 28917 + 5474 = 34391 \)

Пересчитаем, используя данные таблицы "Средние" как усредненные значения:

\( \overline{t} = 7 \)

\( \overline{y} = 28917 \)

\( \overline{t^2} = 54 \)

\( \overline{y \cdot t} = 198509 \)

\( a_1 = \frac{\overline{y \cdot t} - \overline{y} \cdot \overline{t}}{\overline{t^2} - (\overline{t})^2} = \frac{198509 - 28917 \cdot 7}{54 - 7^2} = \frac{198509 - 202419}{54 - 49} = \frac{-3910}{5} = -782 \)

\( a_0 = \overline{y} - a_1 \cdot \overline{t} = 28917 - (-782) \cdot 7 = 28917 + 5474 = 34391 \)

Обнаружена ошибка в расчетах или данных. Попробуем рассчитать \( a_0 \) и \( a_1 \) используя значения из одного из вариантов ответа, чтобы понять, какой набор данных мог быть использован.

Проверим вариант 3: \( y' = 25874,36 + 1057,81 \cdot t \)

\( a_0 = 25874.36 \)

\( a_1 = 1057.81 \)

Если \( a_1 = 1057.81 \) и \( a_0 = 25874.36 \), то:

\( \sum t = 7 \)

\( \sum y = 28917 \)

\( \sum t^2 = 54 \)

\( \sum yt = 198509 \)

\( n = 12 \)

\( a_1 = \frac{n \sum yt - \sum y \sum t}{n \sum t^2 - (\sum t)^2} \)

\( a_1 = \frac{12 · 198509 - 28917 · 7}{12 · 54 - 7^2} = \frac{2382108 - 202419}{648 - 49} = \frac{2179689}{599} \approx 3638.88 \)

Значит, \( t \) в таблице "Средние" не является средним значением \( t \) для всех кварталов. Вероятно, \( t \) в строке "Средние" - это среднее значение \( t \) за квартал (например, 1.75 для 2019, 5.75 для 2020, 9.75 для 2021).

Но в таблице \( t \)=7 для "Средних". Это указывает на то, что \( t \) - это просто порядковый номер квартала, а \( y \) - ВВП.

Попробуем еще раз, считая \( t \) сквозным номером квартала (1..12).

\( n=12 \)

\( \sum t = 78 \)

\( \sum t^2 = 650 \)

\( \sum y \) = 347005

\( \sum yt \) - это сумма ВВП * сквозной номер квартала.

24552*1 + 26568*2 + 28246*3 + 29876*4 + 24757*5 + 23662*6 + 27581*7 + 30968*8 + 26771*9 + 30853*10 + 33911*11 + 39260*12 = 24552 + 53136 + 84738 + 119504 + 123785 + 141972 + 193067 + 247744 + 240939 + 308530 + 373021 + 471120 = 2382108

\( a_1 = \frac{12 · 2382108 - 347005 · 78}{12 · 650 - 78^2} = \frac{28585296 - 27066390}{7800 - 6084} = \frac{1518906}{1716} \approx 885.143 \)

\( a_0 = \frac{347005 - 885.143 · 78}{12} = \frac{347005 - 69041.154}{12} = \frac{277963.846}{12} \approx 23163.65 \)

Эти значения близки к варианту 1: \( y' = 23163,40 + 885,17 \cdot t \).

Выбираем вариант 1.

Ответ: y'= 23163,40 + 885,17 * t.