Имеются два сосуда. Первый содержит 20 килограммов раствора кислоты, а второй — 30 килограмм. Концентрация кислоты в растворе может различаться. Если смешать содержимое двух сосудов, то получится раствор, содержащий 58% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 60% кислоты. Сколько килограмм кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

Пусть \(x\) — концентрация кислоты в первом сосуде (в долях), а \(y\) — концентрация кислоты во втором сосуде (в долях).

1. Смешивание всего содержимого:
• Масса кислоты в первом сосуде: \(20x\) кг.
• Масса кислоты во втором сосуде: \(30y\) кг.
• Общая масса смеси: \(20 + 30 = 50\) кг.
• Общая масса кислоты в смеси: \(20x + 30y\) кг.
• Концентрация кислоты в смеси: \(\frac{20x + 30y}{50} = 0.58\).
• Умножаем обе части на 50: \(20x + 30y = 29\).
• Разделим на 10: \(2x + 3y = 2.9 \quad (1)\).
2. Смешивание равных масс растворов:
• Пусть масса каждого раствора равна \(M\) кг.
• Масса кислоты из первого сосуда: \(Mx\) кг.
• Масса кислоты из второго сосуда: \(My\) кг.
• Общая масса смеси: \(M + M = 2M\) кг.
• Общая масса кислоты в смеси: \(Mx + My = M(x+y)\) кг.
• Концентрация кислоты в смеси: \(\frac{M(x+y)}{2M} = \frac{x+y}{2} = 0.60\).
• Умножаем обе части на 2: \(x + y = 1.2 \quad (2)\).
3. Решаем систему уравнений:
• Из уравнения (2) выразим \(y\): \(y = 1.2 - x\).
• Подставим во уравнение (1): \(2x + 3(1.2 - x) = 2.9\).
• Раскроем скобки: \(2x + 3.6 - 3x = 2.9\).
• Приведем подобные члены: \(-x = 2.9 - 3.6\).
• \(-x = -0.7\).
• \(x = 0.7\).
4. Находим массу кислоты в первом сосуде:
• Концентрация кислоты в первом сосуде: \(0.7\) (или \(70\%\)).
• Масса кислоты в первом сосуде: \(20 \text{ кг} \times 0.7 = 14\) кг.

Ответ: 14 килограмм.