Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение:

Пусть \(x\) — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а \(y\) — концентрация кислоты во втором растворе (в долях).

Первый случай: слить вместе 30 кг и 42 кг раствора.

Общая масса раствора: \(30 + 42 = 72\) кг.

Количество кислоты в первом растворе: \(30x\) кг.

Количество кислоты во втором растворе: \(42y\) кг.

Получен раствор, содержащий 40% кислоты:

\[ \frac{30x + 42y}{72} = 0.40 \]

Умножим обе части на 72:

\[ 30x + 42y = 0.40 × 72 \]

\[ 30x + 42y = 28.8 \]

Разделим обе части на 6:

\[ 5x + 7y = 4.8 \quad (1) \]

Второй случай: слить равные массы этих растворов.

Пусть масса каждого раствора равна \(m\) кг.

Количество кислоты в первом растворе: \(mx\) кг.

Количество кислоты во втором растворе: \(my\) кг.

Общая масса раствора: \(m + m = 2m\) кг.

Полученный раствор содержит 37% кислоты:

\[ \frac{mx + my}{2m} = 0.37 \]

Разделим числитель и знаменатель на \(m\) (так как \(m \neq 0\)):

\[ \frac{x + y}{2} = 0.37 \]

Умножим обе части на 2:

\[ x + y = 0.74 \]

Выразим \(x\) через \(y\):

\[ x = 0.74 - y \]

Подставим это выражение для \(x\) в уравнение (1):

\[ 5(0.74 - y) + 7y = 4.8 \]

\[ 3.7 - 5y + 7y = 4.8 \]

\[ 2y = 4.8 - 3.7 \]

\[ 2y = 1.1 \]

\[ y = \frac{1.1}{2} = 0.55 \]

Теперь найдём количество кислоты во втором растворе, которое составляет 42 кг. Концентрация второго раствора \(y = 0.55\) (или 55%).

Количество кислоты во втором растворе: \(42 × y = 42 × 0.55\).

\(42 × 0.55 = 42 × \frac{55}{100} = 42 × \frac{11}{20} = \frac{21 × 11}{10} = \frac{231}{10} = 23.1\) кг.

Ответ: 23.1 кг.