Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение:

Пусть \( x \) - концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а \( y \) - концентрация кислоты во втором растворе (в долях).

Первое условие: Смешивание 4 кг первого раствора и 16 кг второго дает раствор с концентрацией 57%.

Общая масса смеси: \( 4 + 16 = 20 \) кг.

Масса кислоты в первом растворе: \( 4x \) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \( 16y \) кг.

Масса кислоты в итоговом растворе: \( 20 \cdot 0.57 = 11.4 \) кг.

Составляем уравнение:

\[ 4x + 16y = 11.4 \]\[ 2x + 8y = 5.7 \] (Уравнение 1)

Второе условие: Смешивание равных масс растворов (например, по 1 кг) дает раствор с концентрацией 60%.

Масса кислоты в 1 кг первого раствора: \( 1 · x = x \) кг.

Масса кислоты в 1 кг второго раствора: \( 1 · y = y \) кг.

Общая масса смеси: \( 1 + 1 = 2 \) кг.

Масса кислоты в итоговом растворе: \( 2 · 0.60 = 1.2 \) кг.

Составляем уравнение:

\[ x + y = 1.2 \]\[ y = 1.2 - x \] (Уравнение 2)

Подставляем Уравнение 2 в Уравнение 1:

\[ 2x + 8(1.2 - x) = 5.7 \]\[ 2x + 9.6 - 8x = 5.7 \]\[ -6x = 5.7 - 9.6 \]\[ -6x = -3.9 \]\[ x = \frac{-3.9}{-6} \]\[ x = 0.65 \] (Концентрация первого раствора)

Находим массу кислоты в первом растворе:

Масса кислоты = Масса раствора · Концентрация

\[ 4 · 0.65 = 2.6 \] кг.

Проверка (необязательно):

Найдем концентрацию второго раствора:

\[ y = 1.2 - x = 1.2 - 0.65 = 0.55 \]\(55%)\(

Смешаем 4 кг 65% и 16 кг 55%:

\[ \frac{4 · 0.65 + 16 · 0.55}{4 + 16} = \frac{2.6 + 8.8}{20} = \frac{11.4}{20} = 0.57 \](57%)\(

Смешаем равные массы (1 кг):

\[ \frac{1 · 0.65 + 1 · 0.55}{1 + 1} = \frac{0.65 + 0.55}{2} = \frac{1.2}{2} = 0.6 \](60%)\(

Ответ: 2.6 кг.