Имеются лук, огурец, помидор, чеснок. Сколько различных салатов можно приготовить, если в салате минимум 2 ингредиента?

Решение:

У нас есть 4 ингредиента: лук, огурец, помидор, чеснок.

Нужно приготовить салаты, в которых минимум 2 ингредиента. Это означает, что мы можем приготовить салаты из 2, 3 или 4 ингредиентов.

1. Салаты из 2 ингредиентов:

Это число сочетаний из 4 по 2, которое вычисляется по формуле C(n, k) = n! / (k!(n-k)!):

\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6 \) салатов.

Возможные пары: (лук, огурец), (лук, помидор), (лук, чеснок), (огурец, помидор), (огурец, чеснок), (помидор, чеснок).

2. Салаты из 3 ингредиентов:

Это число сочетаний из 4 по 3:

\( C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{24}{6} = 4 \) салата.

Возможные тройки: (лук, огурец, помидор), (лук, огурец, чеснок), (лук, помидор, чеснок), (огурец, помидор, чеснок).

3. Салаты из 4 ингредиентов:

Это число сочетаний из 4 по 4:

\( C(4, 4) = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1 \) салат.

Возможная четверка: (лук, огурец, помидор, чеснок).

Общее количество салатов:

Сложим количество салатов из 2, 3 и 4 ингредиентов:

\( 6 + 4 + 1 = 11 \) салатов.

Или другим способом:

Для каждого из 4 ингредиентов есть два варианта: либо он входит в салат, либо нет. Таким образом, всего возможно \( 2^4 = 16 \) комбинаций. Но нам нужно, чтобы в салате было минимум 2 ингредиента. Исключим случаи, когда в салате 0 или 1 ингредиент.

• Салат из 0 ингредиентов: 1 (пустой салат). \( C(4, 0) = 1 \)
• Салат из 1 ингредиента: 4 (лук; огурец; помидор; чеснок). \( C(4, 1) = 4 \)

Итого: \( 16 - 1 - 4 = 11 \) салатов.

Ответ: 11