Имеются три слитка. Первый слиток имеет массу 4 кг, второй - 2 кг, и каждый из этих слитков содержит 20% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 70% меди. Найдите массу третьего слитка. Ответ дайте в килограммах.

Решение:

Обозначим массу третьего слитка как x кг.

1. Содержание меди в первом и втором слитках:

• Масса меди в первом слитке: \( 4 \text{ кг} \times 0.20 = 0.8 \text{ кг} \).
• Масса меди во втором слитке: \( 2 \text{ кг} \times 0.20 = 0.4 \text{ кг} \).

2. Содержание меди при сплавлении первого слитка с третьим:

• Общая масса сплава: \( 4 + x \) кг.
• Масса меди в сплаве: \( 0.8 + \text{масса меди в третьем слитке} \) кг.
• По условию, сплав содержит 60% меди: \( \frac{0.8 + \text{масса меди в третьем слитке}}{4 + x} = 0.60 \).
• Пусть масса меди в третьем слитке будет \( 0.20x \) кг (так как в условии сказано, что *каждый* из этих слитков содержит 20% меди, но это противоречит дальнейшим условиям. Будем считать, что третий слиток имеет другую концентрацию меди, чтобы задача имела решение).
• Переформулируем условие: Пусть первый слиток имеет массу 4 кг и содержит 20% меди (0.8 кг меди). Второй слиток имеет массу 2 кг и содержит 20% меди (0.4 кг меди). Пусть третий слиток имеет массу x кг и содержит y% меди.
• Сплав первого и третьего: общая масса \( 4 + x \) кг. Масса меди \( 0.8 + 0.01xy \) кг. По условию, сплав содержит 60% меди: \( \frac{0.8 + 0.01xy}{4 + x} = 0.60 \).
• Сплав второго и третьего: общая масса \( 2 + x \) кг. Масса меди \( 0.4 + 0.01xy \) кг. По условию, сплав содержит 70% меди: \( \frac{0.4 + 0.01xy}{2 + x} = 0.70 \).

Решаем систему уравнений:

1. Из первого уравнения: \( 0.8 + 0.01xy = 0.60(4 + x) \) \( 0.8 + 0.01xy = 2.4 + 0.60x \) \( 0.01xy = 1.6 + 0.60x \)
2. Из второго уравнения: \( 0.4 + 0.01xy = 0.70(2 + x) \) \( 0.4 + 0.01xy = 1.4 + 0.70x \) \( 0.01xy = 1 + 0.70x \)
3. Приравниваем правые части уравнений: \( 1.6 + 0.60x = 1 + 0.70x \)
4. \( 1.6 - 1 = 0.70x - 0.60x \)
5. \( 0.6 = 0.10x \)
6. \( x = \frac{0.6}{0.10} = 6 \)

Проверка:

Если \( x = 6 \), найдем массу меди в третьем слитке:

Из \( 0.01xy = 1 + 0.70x \): \( 0.01 \cdot 6y = 1 + 0.70 \times 6 \) \( 0.06y = 1 + 4.2 \) \( 0.06y = 5.2 \) \( y = \frac{5.2}{0.06} \approx 86.67 \)%

Масса меди в третьем слитке = \( 6 \times 0.8667 \text{ кг} \approx 5.2 \text{ кг} \).

Сплав 1 + 3: общая масса \( 4 + 6 = 10 \) кг. Масса меди \( 0.8 + 5.2 = 6 \) кг. Процент меди: \( \frac{6}{10} \times 100 = 60 \)% (верно).

Сплав 2 + 3: общая масса \( 2 + 6 = 8 \) кг. Масса меди \( 0.4 + 5.2 = 5.6 \) кг. Процент меди: \( \frac{5.6}{8} \times 100 = 70 \)% (верно).

Ответ: 6 кг.