In 3-6, find the surface area of each pyramid. The faces of the triangular pyramid are equilateral triangles.

Решение:

3. Треугольная пирамида

Данные: основание — равносторонний треугольник со сторонами 8 футов. Боковые грани — равносторонние треугольники.

Площадь основания (равностороннего треугольника): \( A_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \approx 27.71 \text{ футов}^2 \)

Площадь одной боковой грани (равностороннего треугольника): \( A_{face} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = 16\sqrt{3} \approx 27.71 \text{ футов}^2 \)

Площадь боковой поверхности (3 грани): \( A_{lateral} = 3 \cdot A_{face} = 3 \cdot 16\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \approx 83.14 \text{ футов}^2 \)

Общая площадь поверхности: \( A_{total} = A_{base} + A_{lateral} = 16\sqrt{3} + 48\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \approx 110.85 \text{ футов}^2 \)

4. Треугольная пирамида

Данные: основание — равносторонний треугольник со сторонами 9 см. Боковые грани — равносторонние треугольники.

Площадь основания (равностороннего треугольника): \( A_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{81\sqrt{3}}{4} \approx 35.07 \text{ см}^2 \)

Площадь одной боковой грани (равностороннего треугольника): \( A_{face} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{81\sqrt{3}}{4} \approx 35.07 \text{ см}^2 \)

Площадь боковой поверхности (3 грани): \( A_{lateral} = 3 \cdot A_{face} = 3 \cdot \frac{81\sqrt{3}}{4} = \frac{243\sqrt{3}}{4} \approx 105.22 \text{ см}^2 \)

Общая площадь поверхности: \( A_{total} = A_{base} + A_{lateral} = \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{243\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3} \approx 140.29 \text{ см}^2 \)

5. Треугольная пирамида

Данные: основание — равносторонний треугольник со сторонами 40 мм. Высота граней (апофема) 34.6 мм.

Площадь основания (равностороннего треугольника): \( A_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 40^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1600 = 400\sqrt{3} \approx 692.82 \text{ мм}^2 \)

Площадь боковой поверхности (3 треугольника): \( A_{lateral} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot base \cdot height = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 34.6 = 1.5 \cdot 40 \cdot 34.6 = 60 \cdot 34.6 = 2076 \text{ мм}^2 \)

Общая площадь поверхности: \( A_{total} = A_{base} + A_{lateral} = 692.82 + 2076 = 2768.82 \text{ мм}^2 \)

6. Треугольная пирамида

Данные: основание — равносторонний треугольник со сторонами 11 дюймов. Высота граней (апофема) 15 дюймов.

Площадь основания (равностороннего треугольника): \( A_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 11^2 = \frac{121\sqrt{3}}{4} \approx 52.43 \text{ дюймов}^2 \)

Площадь боковой поверхности (3 треугольника): \( A_{lateral} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot base \cdot height = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 15 = 1.5 \cdot 11 \cdot 15 = 16.5 \cdot 15 = 247.5 \text{ дюймов}^2 \)

Общая площадь поверхности: \( A_{total} = A_{base} + A_{lateral} = 52.43 + 247.5 = 299.93 \text{ дюймов}^2 \)

Ответ: 3. ~110.85 футов²; 4. ~140.29 см²; 5. ~2768.82 мм²; 6. ~299.93 дюймов².