In an isosceles triangle ABC with base AC, the bisector AD is drawn. The angle ADC is 126°. Find the angle CBA. Give the answer in degrees.

Краткое пояснение:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ BCA \). Биссектриса AD делит угол BAC пополам. В треугольнике ADC, сумма углов равна 180°. Зная угол ADC и угол ACD (который равен углу BCA), можно найти угол CAD.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В треугольнике ADC, сумма углов равна 180°. Известно, что \( ∠ ADC = 126^° \). Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то \( ∠ BCA = ∠ BAC \). Угол \( ∠ ACD \) является тем же углом, что и \( ∠ BCA \).
2. Шаг 2: Находим угол CAD. В треугольнике ADC: \( ∠ CAD + ∠ ACD + ∠ ADC = 180^° \). Подставляем известные значения: \( ∠ CAD + ∠ ACD + 126^° = 180^° \). Следовательно, \( ∠ CAD + ∠ ACD = 180^° - 126^° = 54^° \).
3. Шаг 3: Так как AD — биссектриса угла BAC, то \( ∠ CAD = ∠ BAD \). Обозначим \( ∠ CAD = ∠ BAD = x \). Тогда \( ∠ BAC = 2x \).
4. Шаг 4: В равнобедренном треугольнике ABC, углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ BCA \). Следовательно, \( 2x = ∠ BCA \).
5. Шаг 5: Теперь мы можем вернуться к уравнению из Шага 2: \( ∠ CAD + ∠ ACD = 54^° \). Подставляем \( ∠ CAD = x \) и \( ∠ ACD = ∠ BCA = 2x \): \( x + 2x = 54^° \).
6. Шаг 6: Решаем уравнение: \( 3x = 54^° \), откуда \( x = 54^° / 3 = 18^° \).
7. Шаг 7: Теперь мы можем найти угол BAC: \( ∠ BAC = 2x = 2 · 18^° = 36^° \).
8. Шаг 8: Так как \( ∠ BAC = ∠ BCA \), то \( ∠ BCA = 36^° \).
9. Шаг 9: Наконец, находим угол CBA в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \( ∠ CBA + ∠ BAC + ∠ BCA = 180^° \). Подставляем известные значения: \( ∠ CBA + 36^° + 36^° = 180^° \). \( ∠ CBA + 72^° = 180^° \).
10. Шаг 10: Вычисляем угол CBA: \( ∠ CBA = 180^° - 72^° = 108^° \).

Ответ: 108°