In the diagram, O is the origin. \(\overrightarrow{OP}=\mathbf p\) and \(\overrightarrow{OQ}=\mathbf q\). R is the point of intersection of PQ and OS, with PR : RQ = 1 : 2 and OR = RS. Find the position vector of S in terms of p and q. Give your answer in its simplest form.

Перевод задания: На рисунке точка O — начало координат. \(\overrightarrow{OP}=\mathbf p\), \(\overrightarrow{OQ}=\mathbf q\). Точка R — пересечение прямых PQ и OS, причём PR : RQ = 1 : 2 и OR = RS. Найдите радиус-вектор точки S через p и q. Дайте ответ в простейшем виде.

Solution:

1. Since PR : RQ = 1 : 2, point R is one third of the way from P to Q. Therefore, \(\overrightarrow{OR}=\mathbf p+\frac{1}{3}(\mathbf q-\mathbf p)=\frac{2\mathbf p+\mathbf q}{3}\).
2. Because OR = RS and O, R, S lie on the same line in that order, \(\overrightarrow{OS}=2\overrightarrow{OR}=\frac{4\mathbf p+2\mathbf q}{3}\).

Answer: \(\overrightarrow{OS}=\frac{4}{3}\mathbf p+\frac{2}{3}\mathbf q\).

Перевод решения:

1. Так как PR : RQ = 1 : 2, точка R находится на одной трети пути от P до Q. Поэтому \(\overrightarrow{OR}=\mathbf p+\frac{1}{3}(\mathbf q-\mathbf p)=\frac{2\mathbf p+\mathbf q}{3}\).
2. Поскольку OR = RS, а точки O, R, S лежат на одной прямой в указанном порядке, \(\overrightarrow{OS}=2\overrightarrow{OR}=\frac{4\mathbf p+2\mathbf q}{3}\).

Ответ: \(\overrightarrow{OS}=\frac{4}{3}\mathbf p+\frac{2}{3}\mathbf q\).