(8) In the figure, PV = VU = 3 cm, RS = UT = 5 cm and TS = 4 cm. <QPV = ∠PVU = ∠UTS = ∠RST = 90°. Find the area of the figure.

Для того чтобы найти площадь данной фигуры, необходимо разбить её на прямоугольники и трапецию.

1. Рассмотрим прямоугольник PVUQ. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. PV = VU = 3 см, значит, PVUQ – квадрат.

Площадь квадрата PVUQ равна: $$S_{PVUQ} = PV \times VU = 3 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$$

2. Рассмотрим прямоугольник TURS. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. UT = RS = 5 см, TS = RU = 4 см.

Площадь прямоугольника TURS равна: $$S_{TURS} = TS \times RS = 4 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$$

3. Найдем длину PQ и QR.

4. Рассмотрим трапецию PQRT.

Для начала найдем длину отрезка QR. Опустим перпендикуляр из точки Q на отрезок RS, получим точку X. Тогда RX = RS - XR = 5 - 3 = 2 см. QX = TS + VU = 4 + 3 = 7 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник QRX. По теореме Пифагора, $$QR = \sqrt{QX^2 + RX^2} = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$$.

5. Найдем длину отрезка PQ. Опустим перпендикуляр из точки Q на отрезок PV, получим точку Y. Тогда PY = PV - YV = 3 - 3 = 0 см. QY = VU + TS = 3 + 4 = 7 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQY. По теореме Пифагора, $$PQ = \sqrt{QY^2 + PY^2} = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$$.

6. Найдем площадь фигуры, как сумму площадей квадрата PVUQ, прямоугольника TURS и трапеции PQRT, где PR = UT = 5 см, QT = VU + TS = 3 + 4 = 7 см. $$S_{PQRT} = \frac{PR + QT}{2} \times PT = \frac{5+7}{2} \times 7 = \frac{12}{2} \times 7 = 6 \times 7 = 42 \text{ см}^2$$.

7. Тогда, $$S = S_{PVUQ} + S_{TURS} + S_{PQRT} = 9 \text{ см}^2 + 20 \text{ см}^2 + 42 \text{ см}^2 = 71 \text{ см}^2$$.

Ответ: 71 см²