In the second circle, find the values of x and y.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

• Угол CAD = 38°.
• Угол CBD = 38°.
• Угол BAC = x.
• Угол BDC = x.
• Угол ABD = 68°.
• Угол ACD = 68°.
• Угол DBC = y.
• Угол DAC = y.
• Угол ADC = 38° + x.
• Угол ABC = 68° + y.
• Угол ADC + Угол ABC = 180°.
• 38° + x + 68° + y = 180°.
• x + y + 106° = 180°.
• x + y = 74°.
• Угол BCD = y + 68°.
• Угол BAD = x + 126°.
• Угол BCD + Угол BAD = 180°.
• y + 68° + x + 126° = 180°.
• x + y + 194° = 180°.
• x + y = -14°.

Заметим, что в данном случае, числа 126° и 68° не относятся к углам вписанного четырехугольника, а скорее к дугам. Исходя из этой интерпретации:

• Дуга CD = 126°.
• Угол BAD = 1/2 * (Дуга BCD) = 1/2 * (Дуга BC + Дуга CD) = 1/2 * (Дуга BC + 126°).
• Угол BCD = 1/2 * (Дуга BAD) = 1/2 * (Дуга BA + Дуга AD).
• Угол CAD = 38°. Угол CBD = 38°. Это значит, что дуга CD = 2 * 38° = 76°.
• Но по условию дуга CD = 126°. Это противоречие.

Предположим, что 126° и 68° являются углами, а не дугами. Тогда:

• Угол BAD = 126°.
• Угол ABC = 68°.
• В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
• Угол BCD = 180° - Угол BAD = 180° - 126° = 54°.
• Угол ADC = 180° - Угол ABC = 180° - 68° = 112°.
• Угол CAD = 38°.
• Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = x + 38° = 126°.
• x = 126° - 38° = 88°.
• Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC = 112°.
• Угол ADB = y.
• Угол BDC = 38°.
• y + 38° = 112°.
• y = 112° - 38° = 74°.

Ответ: x = 88°, y = 74°