In the trapezoid ABCD, ∠A = 90°, ∠D = 45°, BC = 4 cm, CD = 3√2 cm. Calculate the lateral and total surface areas of the truncated cone formed by rotating this trapezoid around the side AB. (Problem 571 from the textbook.) Solution. When the given trapezoid is rotated, a cone is formed. 1) Draw CH ⊥ AB. Then HD = = ___ * cos 45° = 3√2. = ___ cm, AD = AH + ___ = ___ + HD = 2) S_lateral = π(BC + _____) * _____ 3) S_total = S_lateral + πBC² + _____ = (____ + 65)π (cm²). Answer. ___ cm² and ___

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии вместе. Она про усеченный конус, который получается, когда мы вращаем трапецию вокруг одной из ее сторон.

Дано:

• Трапеция ABCD
• \[ \angle A = 90^{\circ} \]
• \[ \angle D = 45^{\circ} \]
• \[ BC = 4 \text{ см} \]
• \[ CD = 3\sqrt{2} \text{ см} \]
• Сторона вращения: AB

Найти:

• Площадь боковой поверхности (S_бок)
• Площадь полной поверхности (S_полн)

Решение:

1. Построение и поиск высоты:

Сначала проведем высоту CH из вершины C на основание AB. Так как ABCD - трапеция, то CH будет параллельна AD. В прямоугольном треугольнике CHD, угол D равен 45°, а угол CHD равен 90°. Это значит, что треугольник CHD - равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, CH = HD.

В условии сказано, что CD = 3√2 см. В прямоугольном треугольнике CHD, по теореме Пифагора: CH² + HD² = CD².

Так как CH = HD, то 2 * HD² = (3√2)²

2 * HD² = 9 * 2

2 * HD² = 18

HD² = 9

HD = 3 см. (Поскольку HD - длина, она положительная).

Значит, CH = HD = 3 см. Это высота трапеции, которая при вращении станет высотой усеченного конуса.

2. Нахождение сторон для формул:

• Радиусы оснований:
  • Большее основание конуса (R) будет равно AD.
  • Меньшее основание конуса (r) будет равно BC.
• AD = AH + HD.

Рассмотрим прямоугольник ABCК (где K - точка на AD). BC = AK = 4 см.

Тогда AD = AK + KD. Нам нужно найти KD.

Мы знаем, что CH = 3 см. А так как ABCD - трапеция, то BC параллельно AD. Если мы опустим высоту CH, то ABCD не обязательно будет прямоугольной трапецией, если ∠D не 90°. Но у нас ∠A = 90°, значит AB - высота. AH = AB.

Давай вернемся к треугольнику CHD. Мы знаем, что ∠D = 45° и CH = 3 см. В прямоугольном треугольнике CHD: \[ \text{tg}(D) = \frac{CH}{HD} \]

\[ \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{3}{HD} \]

\[ 1 = \frac{3}{HD} \]

HD = 3 см.

Теперь найдем AD. AD = AH + HD. Нам нужно найти AH. В трапеции ABCD, если ∠A = 90°, то AB - высота, а значит AH = AB. Мы не знаем AB. Но мы знаем CD = 3√2.

Давай посмотрим на рисунок. Если ABCD - трапеция, то AB и CD - боковые стороны, а AD и BC - основания, или наоборот. По условию ∠A = 90°, ∠D = 45°. Это означает, что AD и AB - катеты, а CD - гипотенуза, если ∠C = 90°. Но это не так.

Перечитаем условие: В трапеции ABCD ∠A = 90°, ∠D = 45°, BC = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны AB.

Значит, AB - ось вращения. AD и BC - основания усеченного конуса (или наоборот). Так как ∠A = 90°, то AB является высотой трапеции, и AD - одно из оснований.

Радиус большего основания (R): R = AD

Радиус меньшего основания (r): r = BC = 4 см.

Высота конуса (h): h = AB

Образующая конуса (l): l = CD = 3√2 см.

Чтобы найти AD, проведем высоту CH из C на AD.

В прямоугольнике ABCH, AH = BC = 4 см, CH = AB.

В прямоугольном треугольнике CHD, ∠D = 45°, CH = AB.

\[ \text{tg}(D) = \frac{CH}{HD} \]

\[ \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{AB}{HD} \]

\[ 1 = \frac{AB}{HD} \]

Значит, AB = HD.

Теперь используем теорему Пифагора для треугольника CHD:

\[ CH^2 + HD^2 = CD^2 \]

\[ AB^2 + AB^2 = (3\sqrt{2})^2 \]

\[ 2  AB^2 = 18 \]

\[ AB^2 = 9 \]

\[ AB = 3 \text{ см} \]

Значит, h = AB = 3 см и HD = 3 см.

Теперь найдем радиус большего основания AD:

\[ AD = AH + HD \]

Мы знаем, что AH = BC = 4 см, и HD = 3 см.

\[ AD = 4 + 3 = 7 \text{ см} \]

Итак, у нас есть:

• R = AD = 7 см (больший радиус)
• r = BC = 4 см (меньший радиус)
• h = AB = 3 см (высота)
• l = CD = 3√2 см (образующая)

3. Расчет площадей:

а) Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

\[ S_{\text{бок}} = \pi (R + r) l \]

\[ S_{\text{бок}} = \pi (7 + 4) \u0002 3\sqrt{2} \]

\[ S_{\text{бок}} = \pi \u0002 11 \u0002 3\sqrt{2} \]

\[ S_{\text{бок}} = 33\sqrt{2}\pi \text{ см}^2 \]

б) Площадь полной поверхности усеченного конуса:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + \pi R^2 + \pi r^2 \]

\[ S_{\text{полн}} = 33\sqrt{2}\pi + \pi (7^2) + \pi (4^2) \]

\[ S_{\text{полн}} = 33\sqrt{2}\pi + 49\pi + 16\pi \]

\[ S_{\text{полн}} = 33\sqrt{2}\pi + 65\pi \]

\[ S_{\text{полн}} = \pi (33\sqrt{2} + 65) \text{ см}^2 \]

Проверим вычисления из текста:

1) Проведем CH ⊥ AB. Тогда HD = ___ . cos 45° = 3√2.

Это явно ошибка в тексте. У нас HD = 3 см. И cos 45° = √2/2. Вероятно, имелось в виду что-то другое.

Давай исходим из наших вычислений. У нас HD=3, CH=3. CD = 3√2.

2) S_бок = π(BC + AD) * CD

\[ S_{\text{бок}} = \pi(4 + 7) \u0002 3\sqrt{2} \]

\[ S_{\text{бок}} = \pi(11) \u0002 3\sqrt{2} \]

\[ S_{\text{бок}} = 33\sqrt{2}\pi \text{ (см}^2) \]

3) S_полн = S_бок + πBC² + πAD²

\[ S_{\text{полн}} = 33\sqrt{2}\pi + \pi(4^2) + \pi(7^2) \]

\[ S_{\text{полн}} = 33\sqrt{2}\pi + 16\pi + 49\pi \]

\[ S_{\text{полн}} = 33\sqrt{2}\pi + 65\pi \]

\[ S_{\text{полн}} = (33\sqrt{2} + 65)\pi \text{ (см}^2) \]

Заполним пропуски в исходном тексте, исходя из наших расчетов:

1) Проведем CH ⊥ AB. Тогда HD = 3. (Условие 'cos 45° = 3√2' некорректно, вероятно, имелось в виду CD = 3√2)

= 4 см, AD = AH + HD = 4 + 3 = 7 см.

2) S_бок = π(BC + AD) * CD

= π(4 + 7) * 3√2 = 33√2 π (см²).

3) S_полн = S_бок + πBC² + πAD²

= (33√2 + 65)π (см²).

Ответ:

Площадь боковой поверхности: $$33\sqrt{2}\pi$$ см²

Площадь полной поверхности: $$(33\sqrt{2} + 65)\pi$$ см²