347. In una piramide quadrangolare regolare l'altezza è 6/5 dello spigolo di base e la loto somma misura 13,2 cm. Calcola l'area totale e il volume.

Решение:
Пусть x - длина стороны основания, тогда высота равна 6/5 * x. Сумма высоты и стороны основания равна 13,2 см: \[x + \frac{6}{5}x = 13.2\] \[\frac{11}{5}x = 13.2\] \[x = \frac{13.2 \cdot 5}{11} = 6 \text{ см}\] Сторона основания равна 6 см. Высота пирамиды равна: \[h = \frac{6}{5} \cdot 6 = 7.2 \text{ см}\] Площадь основания пирамиды: \[S_{осн} = 6^2 = 36 \text{ см}^2\] Площадь боковой поверхности пирамиды: Чтобы найти площадь боковой поверхности, сначала найдем апофему пирамиды. Апофема - это высота боковой грани, которая является равнобедренным треугольником. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды и половиной стороны основания, апофема является гипотенузой: \[a = \sqrt{h^2 + (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{7.2^2 + 3^2} = \sqrt{51.84 + 9} = \sqrt{60.84} = 7.8 \text{ см}\] Площадь одной боковой грани: \[S_{бок.гр.} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7.8 = 23.4 \text{ см}^2\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 4 \cdot 23.4 = 93.6 \text{ см}^2\] Площадь полной поверхности пирамиды: \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 93.6 = 129.6 \text{ см}^2\] Объем пирамиды: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 7.2 = 12 \cdot 7.2 = 86.4 \text{ см}^3\]